II. Si les génératrices des deux surfaces , au lieu d’être

parallèles au plan horizontal de projection, étaient parallèles à un même plan vertical , on pourrait prendre ce plan pour plan vertical de projection , et alors les constructions seraient entièrement analogues aux précédentes. En coupant les deux surfaces par un plan parallèle au plan vertical de projection, on obtiendrait ÿiatre points de la projection verticale de l’intersection f^erchée. ^ >

III. II. peut arriver que toutes les génératrices dèrùhe des deux surfaces cylindriques rencontrent la seconde surface; dans ce cas, on dit qu’il y a pénétration, ei l’in-’ terseclion se compose de deux courbes égales distinctes. Il peut arrive!’, au contraire, qu’une partie des généi’a-

GÉOMÉTRIE DANS l’esPACI . 395

Irices do chaque surface ne rencontre pas l'autre : on dit, dans ce cas , qu’il y a arrachement , et l’intersection se compose d’une seule et même courbe.

IV. Dans le cas particulier où les axes des deux surfaces cylindriques se rencontrent, etoù leurs directrices sont des circonférences égales, le parallélogramme dont nous parlions tout à l’heure devient un losange achd (lig. 4SI) , et à cause de la symétrie des constructions, la projection horizontale de l’intersection cherchée se réduit aux deux diagonales ah ç\. c^/de ce losange. 11 en résulte que cette intersection se compose alors de deux courbes planes, et, par conséquent , de deux ellipses , puisque, comme nous l’avons vu plus haut, l’interseclion d’une surface cylindrique et d’un plan est une ellipse.

Lorsque les directions des génératrices des deux surfaces sont en outre perpendiculaires entre elles, le losange se change en un carré; les diagonales sont égales, et l’intersection des deux surfaces se compose de deux ellipses égales.

y. Enfin deux surfaces cylindriques, dont les génératrices sont parallèles , ne peuvent se couper que suivant deux de ces génératrices.

Applications. La rencontre des surfaces cjliudriques trouve des explications fréquentes.

I. Loi'squ’une voûte en berceau vient déboucher dans une autre voûte plus élevée, il y a rencontre de deux surfaces cylindriques par pénétration. La même cho.se a lieu quand une fenêtre ou une porte cintrée est pratiquée dans un mur cylindrique, comme le mur d’une tour. La même chose a lieu encore loi'squ’un tuyau de conduite pour l’eau ou pour le gaz s’abouche latéralement avec un tuyau d’un plus grand diamètre.

II. Lorsque deux voûtes en berceau égales se traversent mutuellement , elles offrent le cas particulier signalé tout-à-l’heure où rintersectionsecompo.se de deux courbes planes. Mais, comme chaque voûte n’est formée que d’une demi-surface cylindrique, l’intersection se compose de deux denii-elLipses. On peut remarquer que la

mémo chose aurait encore lieu si l’une des deux surfaces cylindriques, ou toutes deux, au lieu d’aroir pour directrice une circonférence de cercle, avaient pour directrice une ellipse ayant son gi'and axe horizontal , pourvu que les petits axes de ces directrices fussent égaux, et que les grands axes fussent situés dans un même plan horizontal.

On trouve cette disposition dans les voûtes en aréV/erj, et dans les voûtes en arc de cloître.

Les premières s’emploient, lorsque deux galeries voûtées se traversent , pour opérer la jonction des deux berceaux. Les hachures de la figure 452 représentept lies projections horizontales des génératrices, et montrent comment s’oj)èré la jonction des deux voûtes.

I^es voûtes en arc de cloître .s’emploient pour couvrir une salle rectangulaire. Les hachures de la figure 4â8 représentent encore les projections horizontales des génératrices, et montrent qu’icl la disposition des surfaces Cylindriques est inverse de celle qui forme les voûtes en arêtiers.

III. Lorsqu’une voûte en berceau vient déboucher ctahsiine àlitre voûte demême hauteur, sans la traverser, l’intersection se compose de deux quarts d’ellipse.

Quélque chose d’analogue a lieu dans certaines jonctions des tuy aux ; mais au lieu de deux quarts d’ellipse , ou a deux demi-ellipses, parce que les surfaces cylindriques sont entières.

Si deux surfaces cylindriques égales s’arrêtent mutuellement .sans se traverser, l’intersection, ou plutôt la courbe d’arrêt , est une seule ellipse complète. Les tuyaux de poêle coudés offrent cette disposition. Ce mode de rencontre et le précédent sont réunis dans la fig. 454.

538. — Les surfaces cylindriques jouissent d’une projvriété remarquable qu’il nous reste à faire connaître.

Soïeul aa' , b b' , c ê , d (f , (fig. 4.55), des génératrices

d’une surface cylindrique, suffisamment rapprochées l’une de l’autre , pour que la portion de surface comprise entre deux de ces génératrices consécutives puisse

GÉO.MKTRir: DANS L’i-SPACr. 397

èli'e regardée comme sensiblement plane. On conçoit que l’on puisse faire tourner le plan autour de

b b' comme charnière, jusqu’à ce qu’il vienne coïncider avec le prolongement du plan bct‘ b'. On pourra alors faire tourner le plan acc'a’ autour de cc comme charnière, jusqu’à ce qu’il vienne coïncider avec le prolongement du plan cdd'c. En continuant ainsi, il est facile de voir que toute la surface cylindrique pourra être amenée dans un même plan, ou développée sur un même plan , ce qui a fait donner à ces surfaces le nom de surfaces développables. Nous verrons bientôt que les surfaces cylindriques ne sont pas les seules qui jouisseut de cette propriété,

539. — Problème. Développer sur une surface plane l' intersection d'une surface cylindrique et d’un plan. Supposons que la surface cylindrique ait ses génératrices verticales, et que le plan coupant soit perpendiculaire au plan vertical de projection. Si l’on développe la surface cylindrique sur le plan vertical, de manière que sa trace horizontale vienne se dérouler sur la ligne de terre , les hauteurs verticales des différents points de la courbe d’intersection n’auront pas changé. De là la construction suivante ;

Prenez sur la ligne de terre une longueur AB (fig, 456) égale à la circonférence rectifiée de la trace horizontale de la surface proposée. Divisez cette longueur et cette circonférence en un même nombre de parties égales. Par les points de division de AB , élevez sur X Y des perpendiculaires indéfinies. Par les points de division du cercle, menez aussi des perpendiculaires à X Y jusqu’à la rencontre de la trace verticale ma! du plan coupant. Par tous les points de rencontre menez des horizontales ; chacune de ces horizontales, par son intcrséclion avec la perpendiculaire à AB dont le rang correspond au sien , déterminera un point du développement cherché. On n’aura plus qu’à lier par une courbe tous les points ainsi obtenus. ,

Remarque. Si le plan coupant était horizontal , et par conséquent, perpendiculaire aux génératrices, la trace

398 sr.coAiJE partie.

wrt' serait horizontale; toutes les perpendiculaires à A B auraient donc môme hauteur, et le dévelo^jpeinent demandé serait une parallèle à la ligne de terre.

Applicatioxs. Les ferblantiers, les poêliers, les chaudronniers , les cartonniers , qui construisent des surfaces cylindriques avec des surfaces planes, telles que des feuilles de fer-blanc, de tôle, de cuivre ou de carton , ont souvent à déterminer à l’avance la forme à donner à cette feuille , i>our que , réduite en surface cylindrique, elle présente, à l’une de ses extrémités, la courbe d’intersection de cette surface par un plan incliné d’un angle donné sur les génératrices. Il faut , en pai'eil cas , recourir à ime construction analogue à la précédente. C’est ainsi que se construisent les tuyaux coudés. I/inclinaison la plus fréquemment employée est d’un demiangle droit ou de 45”.

Des surfaces coniques.

540. — La plus simple des surfaces coniques est celle dont la directrice est une circonférence de cercle et dans laquelle le point fixe où viennent passer toutes les génératrices , point que l’on nomme le sommet àe la surface , est situé sur une perpendiculaire élevée au plan du cercle directeur par le centre de ee cercle. Cette surface porte le nom de surface conique droite à directrice circulaire , ou simplement surface conique droite. Lorsque le sommet est situé en dehors de la perpendiculaire dont nous parlons , la surface conique est dite oblique. Mais nous parlerons principalement des surfaces coniques droites, dont on fait un usage plus fréquent dans les arts.

54 J, Théorème. Une surface conique droite est une

surface de révolution. En effet, soit ABC (fig. 457) la circonférence direetrice, O son centre , OS une droite menée par ce centre perpendiculairement au plan ABC ; enfin soit S le sommet de la surface conique, ce sera \’.ne surface conique droite. Soient SA et SB deux génératrices quelconques , A et B les points où elles

GKOMÉTRIE DANS l’eSPACE. .‘Î99

roiiconlrent la directrice; joignons OA et O B. Les triangles S OA et SO B seront égaux , comme étant tous deux rectangles, puisque S O est perpendiculaire au plan ABC (401), et comme a^ ant S O commun et OA=OB. La génératrice S B étant quelconque, on voit que la surface conique peut être considérée comme engendrée par la révolution du triangle SOA autour de S O.

CoROLLAinE. Dans ce mouvement , chaque point de l’hypothénuse SA ou de son prolongement décrit une circonférence qui a son centre sur la droite SO. Car, si par un point quelconque a de la génératrice SA on mène dans le plan SOA une parallèle ao au rayon A O, et que par le point o on mène daus le plan SOB la droite ob parallèle à OB, on aura, à cause des similitudes de triangle,

OA: oaw SO :So,etOB:o/v::SO : So, d’où O A : o« : : OB : o^>.

Dans cette proportion, les antécédents sont égaux, il faut donc que les conséquents le soient au.ssi. Ainsi le point a décrit une circonférence qui a pour centre le point O,

Remarques. I. La droite S O qui joint le sommet au centré de la directrice se nomme Vaxe de la surface conique.

II. Il résulte de l’égalité des triangles SOA et SOB que les angles AS O etBSO sont égaux , et «[ue^ par conséquent, toutes les génératrices font des angles égaux avec l’axe.

III. La génératrice S A , prolongée au delà du point S, décrit une seconde partie de la surface conique. Ces deux parties d’une surface conique, séparées par le .sommet, se nomment les deux nappes de la surface.

Dans les applications ordinaires, on ne considère à la ,

fois qu’une des deux nappes dont la surface se compose. ^

Appi.ications. I. On peut produire une surface co- s

nique de deu.x manières, suivant qu’on la considère

comme une surface réglée ou comme une surface de révolution. l\Iais, dans l’un et l’autre cas, il faut avoir égard à ce qfi’on nomme Vanglo de la surface conique, c’est-à-dire à l’angle que forment deux génératrices extrêmes , telles que S A et SC , suivant lesquelles la surface est coupée par un plan qui passe par son axe. Cet angle est, comme on voit, le double de l’angle ASO compris entre une génératrice et l’axe. La connaissance de l’angle de la surface ou plutôt de la moitié ASO permet de construire un triangle semblable au triangle générateur ASO, et ce triangle est essentiel à connaître pour produire la surface conique.

H. Dans le j)remier mode de production, celui où l’on considère la surface conicpie comme une surface réglée, il faut d’abord donner à la pièce ou au bloc sur lequel on opère deux faces planes parallèles MN et PQ (fig. 458) que l’on coupe par une troisième face plane PR, perpendiculaire aux deux premières. Sur l’une des deux faces parallèles, PQ par exemple, on marque un point S que l’on prend pour le sommet du cône. On mène S /w perpendiculaire h l’arête U P, mn perpendiculaire àUP et à RM, puis dans la face EN on mène nO perpendiculaire à IIM; on prend »0== /?/S , et l’on est certain que la droite qui joindrait les points S et O serait perpendiculaire aux deux plans parallèles MN et PQ; car, d’après la construction , S O est parallèle à m n qui est elle -même perpendiculaire à ces deux plans (44.3).

Sur la face M N , on décrit alors une circonférence du point O comme centre , avec un rayon O A déterminé de manière que le triangle rectangle S O A , dans lequel on‘ connaît SO — nto, soit semblable au triangle générateur. Celte circonférence peut alors être prise pour directrice de la surface demandée.

On mène des tangentes à cotte circonférence. Par ces tangentes et par le point S on fait passer des plans; par leurs intersections, ces plans déterminent une série de faces triangulaires ayant pour sommet commun le point S. On multiplie ces tangentes , jusqu’à ce que le poly-

Diyi

Gl'OMlÎTRfE DANS l’eSPACF. 401

gone circonscrit qu’elles forment se confonde sensible* ment avec la directrice; l’ensemble des faces triangulaires menées par ces tangentes et par le point S diffère alors aussi peu qu’on le désire de la surface conique demandée.

C’est ainsi que l’on oj>ère dans la coupe des pierres.

III. Les architectes emploient le même mode de production pour construire les trompes, sortes de voûtes coniques que l’on pratique dans les encoignures. Soient SA et SB (fig. 459) deux droites horizontales. On prend sur ces droites les distances égales SA =SB, SA' = SB', SA' = SB’, etc. Suivant AB, A'B', A"B", etc., on élève une .série de demi-cercles verticaux en charpente, pareils à ceux de la figure 447, mais de plus en plus petits , comme on voit, à mesure qu’ils approchent du point S. Sur ces demi-cercles on pose des poutrelles à faces triangulaires qui vont aboutir au points, où elles se terminent en pointe. Sur ces poutrelles on établit la maçonnerie, et sa surface inférieure offre alors sensiblement une surface coniquej qui a pour sommet le points, et pour directrice un demi-cercle vertical , dont le diamètre est AB, augmenté du double de l’épaisseur des poutrelles.

IV. Dans le second mode de production , où l’on regarde la .surface comme une surface de révolution , on fait usage du tour. Tandis que la pièce h façonner tourne autour d’un axe constant, on fait décrire à la pointe de l’outil une droite qui va couper cet axe sous un angle égal à la moitié de l’angle de la surface conique demandée.

C’est ainsi que l’on exécute, sur bois ou sur métal, une grande partie des surfaces coniques employées dans les arts. On emploie un procédé analogue pour obtenir la surface conique qui forme la partie extérieure des pièces d’artillerie.

C’est aussi par rotation que les surfaces coniques s’obtiennent dans l’art de la poterie.

542. — Deux surfaces •coniques droites (nous sous-entendons toujours le mot circulaire) ne sont susceptibles

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de coïncider que lorsque l’angle de la surface est le même. Lorsque celle coïncidence est remplie , si l’on fait coïncider les sommels et les axes des deux surfaces, les génératrices, étant également inclinées sur l’axe commun, coïncident nécessairement deux à deux.

La coïncidence subsiste encore si l’on fait tourner les deux surfaces en sens contraire autour de l’axe commun. Mais elle ces.se d’avoir lieu si l’on faisait mouvoir l'ime d’elles dans le sens de cet axe.

Applicatioxs. I. C’est en vertu du principe d'égalité par coïncidence, que l’on emploie le moulage pour produire les surfaces coniques.

II. Le robinet ordinaire avec sa clef offre l’exemple de deux .surfaces coniques droites, à axes verticaux, qui coïncident tant qu’on se borne à faire tourner la clef dans le robinet , mais qui se séparent lorsqu’on élève celle-ci verticalement.

543. — Les raisonnements .sur lesquels nous nous sommes appuyés au n° 534, appliqués à la surface conique, démontreraient (|ue tout plan tangent à une surface de ce genre doit contenir la génératrice qui pas.se par le point de coiilact. Si par le point de contact on mène un plan perpendiculaire à l’axe de la surface, et qu’on mène par ce même point une tangente à la circonférence qu’on obtient pour intersection, celte tangente devra aussi se trouver dans le plan tangent. Or on démontrerait, comme pour une surface cylindrique, que cette tangente est perpendiculaire au plan déterminé par l’axe de la surface conique et par la génératrice qui passe au point de contact. Il est donc facile d’obtenir par la méthode des projections les deux droites qui déterminent le plan tangent, et par suite ce plan tangent lui-même.

Applications. I. C’est par le contact d’un plan avec une surface conique , que l’architecte raccorde les trompes avec la face interne. des murs qui les supportent.

IL Les meules coniques dont les fabricants de chocolat se servent pour broyer le cacao offrent l’exemple d’une surface conique tangente à un plan.

GÉOMJÉTRIF. DA.NS l’eSPACF. 403

544. — Deux surfaces coniques peuvent se toucher de plusieurs manières : la plus reinar(|uable est celle oü les deux sommets coïncident; le contact a lieu, dans ce cas, suivant une génératrice entière; et de plus, si l’on fait tourner les deux surfaces autour de leurs axes respectifs , elles ne cessent point d’être tangentes.

Applicatiox. C’est ainsi que sont disposées les roues iVangle employées dans les machines pour changer un mouvement de rotation autour d’un axe en un autre mouvement de rotation autour d’un st^cond axe incliné au premier.

On prend l’intersection S des deux axes OS et O'S (lig. 4ü0) pour le sommet des deux surfaces coni<|ues; on divise l’angle de ces axes par une droite SB, choisie de telle sorte que les distances de chacun de ses points aux deux axes soient en raison inverse des vitesses relatives que l’on veut donner aux deux roues; cette droite est la génératrice commune aux deux surfaces coniques tangentes. Ces deux surfaces, que l’on nomme les surfaces coniques /?/v/w/7/Vcj des deux roues, étant ainsi déterminées , puisque l’angle A S B de la première est le double de OS B, et l’angle BSC de la seconde, le double de O'S B, on n’a plus qu’à y établir le système de denture propre à ce genre d’engrenage.

Remarquons que si l’on menait O O', perpendiculaire à SB au point B , et que l’on prit O et O' pour les sommets de deux surfaces coniques droites ayant pour axes OS et O'S, ces surfaces auraient une génératrice commune O O', et seraient tangentes l’une à l’autre, suivant cette génératrice, pendanttoute la durée du mouvement des surfacesautour de leurs axes. Il en résulte que les circonférences A B et B C se toucheraient au point B , comme si elles étaient situées dans un même plan perpendiculaire à SB, et qu’elles eussent O et O' pour centres et O B et OB' pour rayons. C’est par cette considération cpie l’on ramène le tracé de l’engrenage des roues d’angle au tracé derengrenage des roues ordinaires.