L'objet de ce travail est l'étude de la fraction continue

où z est une variable iniajj^inaire et a^, a.,, n^, ... sont des nombres réels positifs.

Deux cas sont à distinj^uer selon que la série

est convergente ou divergente.

L'étude du premier cas est de beaucoup la plus simple et conduit aux résultats suivants.

Dans le cas où la série (S) est convergente, les réduites d'ordre paiiet les réduites d'ordre impair tendent vers deux limites différentes

Ici p{z), (](i), ;>, (z), 9, (z) sont des fonctions holomorphes dans tout le plan, ce sont des fonctions entières de z du genre zéro. Ces fonctions n'admettent que des zéros simples qui sont réels et négatifs , et

2. Avant d'aller plus loin, considérons le développement de la fraction continue suivant les puissances descendantes de z. Ce développement se présente sous la forme

les coefficients c„ étant positifs et le rapport

Cn-f-i

croît constamment avec n. Deux cas peuvent se présenter: ou bien ce rapport tend vers une limite finie X et alors la série (Si) est convergente pour z > 2, on bien ce rapport croît an delà de toute limite , et alors la série (Sj) est toujours divergente

Nous trouvons que le premier cas a Heu lorsque les nombres

Ot>iO!/'-|-l

sont limités supérieurement. Dans le cas contraire, c'est le second cas qui a lieu.

3. Considérons le cas où la série (S) est divergente. Nous trouvons d'abord que les réduites d'ordre pair ou impair tendent vers une même limite F(«), la fraction continue est convergente, et cela pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de 2 : il faut faire exception seulement pour les valeurs réelles négatives.

La partie négative de l'axe réel est ainsi une ligne singulière.

La fonction F [z] est une fonction analytique holomorphe dans tout le domaine que nous venons d'indiquer.

Pour obtenir ce résultat nous nous appuyons surtout sur un théorème de la théorie des fonctions qu'on peut énoncer ainsi. Soit

A (2), fiiz), rAz),...j„{z),...

une suite infinie d<; fonctions analytiques holoaiorphes dans un domaine S limité par un contour s. Si le module de la somme

admet une limite supérieure L, indépendante de n, tant que z est dans S ou sur s; si ensuite la série

est uniformément convergente dans un cercle quelconque C compris entièrement dans S , alors on peut affirmer que cette même série est uniformément convergente dans tout le domaine S, etF(») est holomorphe dans le même domaine.

4. Le résultat précédent laisse obscure la nature de la ligne singulière ; pour éclaircir ce dernier point nous montrons que la fonction F («) peut se mettre sous cette nouvelle forme analytique

^(«)-/ z+Ti-\ VTW'

Ici * (u) est une fonction réelle et croissante

*(0) = 0, <f>(oo)= ,

mais elle peut avoir des sauts brusques dans tout intervalle , et aussi elle n'est nullement assujettie à être une fonction analytique. Cela suffit pour montrer qu'en général la ligne essentielle met un obstacle infranchissable à la continuation analytique de F(«).

Lorsque le rapport Cn + i : c„ tend vers une limite finie l, la fonction 4> (m) est constante à partir de u^X et l'expression de F («) se réduit à

formule dans laquelle * (m) peut être une fonction croissante absolument quelconque.

5. Dans la dernière partie de notre travail , nous faisons quelques applications de la théorie qu'on vient de résumer.

L'étude, au point de vue de la convergence, de la fraction continue qui provient d'une intégrale

/=°dv'(M)

V (m) étant une fonction croissante quelconque , n'offre plus de difficultés.

Comme résultat particulier, nous montrons qu'il suffit de transformer la série de Stirling

en fraction continue

pour avoir une expression convergente qui représente J (z) tant que la partie réelle de z est positive.

Il 26

(Ann. Fac. Sci, Toulouse, 8, 1894,). i — 122, 9, 1895, A. i — 47.)

Recherches sur les fractions continues.

INTR ODU CTION.

L'objet de ce travail est l'étude de la fraction continue

dans laquelle les o, sont des nombres réels et positifs , tandis que z est une variable qui peut prendre toutes les valeurs réelles ou imaginaires.

En désignant par q" . . la n'^™» réduite qui ne dépend que des n premiers coefficients ai, nous chercherons dans quels cas cette réduite tend vers une limite pour w =: uo et nous aurons à approfondir la nature de cette limite considérée comme une fonction de 2.

Nous allons résumer le résultat le plus essentiel de cette étude. 11 y a deux cas à distinguer.

Premier cas. — La série ^ Un est convergente.

Dans ce cas, on a, pour toute valeur finie de e,

lïmF2n(z) = p{z),

\ïmq2n{z) = qiz),

limP2„ + l(3)=Pi(2!),

limQ2„4-i(a) = îi(a),

p(z), q {z),Pi (z), Qi («) étant des fonctions holomorphes dans tout le plan qui satisfont à la relation

q(z) pi iz) — Qi (s) p{z) = -\- 1.

Ces fonctions sont du genre zéro et n'admettent que des zéros simples qui sont réels et négatifs.

Les réduites d'ordre pair et les réduites d'ordre impair tendent donc chacune vers une limite, mais ces limites sont différentes et peuvent se mettre aussi sous la forme d'une série de fractions simples

P(g) fh I fh__ 1 1 f^k ,

q(z)~ 2 -f Aj "^ 3 + ^2 "^ • ■ ■ "^ 2 + Aft "^ • ■ • '

Pi (g) — *'0 I n I ^2 I I "" I

q,(z)~ Z ^z + e,'^z + e^'^---'^z-{-ei,'^---'

f^k, ^k, vk, Ole étant des nombres réels et positifs.

Second cas. — La série ^ a„ est divergente.

Dans ce cas , les réduites tendent vers une limite finie quelle que soit la valeur de 0; il faut excepter seulement les valent s réelles et négatives de z, et considérer ainsi la partie négative de l'axe réel comme une coupure. Cette limite est une fonction analytique de z qui peut se mettre sous la forme

^ {u)du j"^ d<i'{u)

r'° 9 (u)au / =" a<p(u

J (z 4- uf ~J ~z-\-u

Ici * (m) est une fonction réelle et croissante (non analytique , en général) qui croît de <ï>(0) = 0 jusqu'à $(00) = — Cette fonction <I>(m)

peut d'ailleurs présenter des sauts brusques en nombre fini ou infini. La coupure sera ainsi une ligne de singularités essentielles dans le cas où * (m) présente des discontinuités dans tout intervalle (ce qu'il faut considérer comme le cas général) ou même lorsqu'elle est seulement non analytique.

On rencontre souvent sous des formes un peu différentes des frac-

tiens continues qui rentrent réellement dans le type (I) et auxquelles on peut ainsi appliquer nos théorèmes. D'abord, en posant

«1 Unan + l

la fraction continue (I) peut s'écrire

ào

et pour i s =: 1 (1") ....

bat

-,, ht

ht

A l'aide de l'identité

-4. ^1 — z4.h Ak,

la fraction continue (P) pourra se transformer en (P) (I.) . . . . Jq

z-^b,-\-bs— *«**

la n'®™^ réduite de (P) est identique avec la 2n'*™* réduite de (I) ou de (P). Cette fraction (P) est de la forme

avec des valeurs positives des A,, a,. Cette forme (P) se rencontre assez souvent; dès lors, il y a de l'intérêt à savoir si elle peut se mettre sous

la forme (P) avec des valeurs positives des 6<, en sorte que nos théorèmes soient applicables. En identifiant on a

bi 62 = ^1 > &2 + ^3 = «?> 636^ = ^2, 6^4-65 = 03,

d'où l'on tire successivement bo, b^, b^, . . . , et généralement

An

On — 1 — ■ . ^

puis b2n-l=^n '• bzn-

Cependant, il peut arriver que le calcul de ces bi devienne compliqué et , puisqu'il s'agit seulement de savoir si ces quantités sont toutes positives ou non , on pourra quelquefois avec avantage se servir de la proposition suivante.

Les quantités 6, sont certainement toutes positives si l'on peut trouver une fonction positive de n, Pn(P] =0), telle que

Pn

^Pn+1.

En effet , 62 = ^" est positif et ne surpasse pas ^"^5- ^ P2. Or , si

62n-2 est compris entre 0 et P„, on en conclura à cause de

a„ bin — 2

que b2n est positif, plus petit que — Zip" =P»+i-

Donc on aura généralement

0<62»^P« + i, et puis b2n-i = X„ : 62»» est aussi positif.

En particulier les &,• sont tous positifs dans les deux cas suivants :

1° Lorsque a„^l-|-^n, puisque la proposition énoncée s'applique alors en prenant P„ = 1 ;

2" Lorsque a„ + i^l-f-^n, il suffit alors de prendre P„^A„i.

Considérons, par exemple, la i'raction continue étudiée par Lag^uerre qui est de la forme (I**) avec les valeurs suivantes des coefficients

^0 = 1, ln = n^ (w = l),

Le calcul des bi n'offre ici aucune difficulté et l'on trouve

puis

Laguerre, en supposant z réel positif, a montré que la fraction continue est convergente et égale à

Il résulte maintenant de notre théorie que cette proposition s'étend à toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z, en faisant exception pour les valeurs réelles et négatives.

Considérons , en second lieu , la fraction continue que nous avons rencontrée dans ces Annales, t. III, et qui est encore de la forme I"*, abstraction faite du changement de z en z"^. On a

;io = l, A„ = (2n — l)(2n)2(2n-fl)A2, a„ = (2n-lf(l+A2),

k^ étant une quantité positive. Le calcul des 6,- se complique ici. Mais si l'on prend

'"— 2n — 1 ""' "" "~2n — l""' l'inégalité

On — Pn

se réduit à

et se trouve donc satisfaite. La fraction continue considérée appartient donc encore au type que nous avons étudié.