CHAPITRE I

ÉTUDE DES POLYNOMES Pn(«)i Qn (»).

1. Considérons une suite de nombres N, Nj, Ng, ..., liés parles relations

N = aiNi+N2, Ni = a2N2-}-N3,

On pourra exprimer successivement N par Nj et Ng, par Ng et Ng, par Ns et N4, etc.

N = (O1O2 + 1) N2 + «1 Ng = (aiOattg + % + a^) Ng + (Oj Og + 1) N^ = . . . .

Introduisons un symbole

[«l, «2. • • •> «fc]»

déterminé par les relations

(C«i] = «i» [ai,02] = aia2 + l,

'[«Il «2> •••>afc] = [ai. «21 •••> «ft-ija* 4-[«i>«2» •••,«^-2], on aura

(2) . . . N = [ai,a2, ..., ai]Nft + K, 02, ..., aft i]Nfc+i.

Il est clair que N, N*, Na+î sont liés par une relation linéaire et homogène. Il est facile d'obtenir cette relation. Multiplions (2) par Uk + i et remplaçons Uk+i N*+i par N* — Na+2, on aura

[ak+i]N = [ai,a2. • ••, aft + i]Nfc — [%, a^, . ■ . , ak-{]i^k+2;

multiplions par 0*4.2 et ajoutons, membre à membre, à (2), il vient

[ajn.i,aft+2]N = [ai,02, . . . , at+2]NA + [ai, Og, ..., at i]NA+s,

et il est clair qu'on aura généralement

(3) . [oft+i, afc+2, . •■ , Oft+j-i] N =

= [ai,02,...,aA+,i]N* + (— l)'+i[ai,a2, . . . , aA,-i]Nfc+j.

De là, nous allons déduire une identité dont nous aurons besoin dans la suite. En remplaçant k par a, l par ^ -\- y -\-\, on a

= [»i. ■•«« + ,? + ?'] N„ + (-l)'' + ''[ai,...,a„i]N„ + ^^y + i. D'autre part, en éliminant Na 4-^+1 entre les formules [«a + i,--.,Oa + /9]N = [0i, ...,a„ + ^]N„ + (— iy*[ai,...,a„i]N„ + ^+i, [a„ 4.^+2. •••,«a + /î + y]N = [ai,...,o„ + ^ + y]N„4^4.i + (—l)'' + ^[ai,...,c/„ + ^]N„4.^^j,^i,

on obtient la relation entre N, N„, N^^.^^.^^.! sous la forme (5) AN = [ai, ...,aa + /î]t[«i,---.aa + /f + j,]N„ + (— l)^ + ''[ai,...,a„i]N„ + ^ + j,4.i| ,

où

A = K, .•.,a„ + ^ + j,]XK + i,...,a„ + ^]

+ (— l)^"'''[ai, • • • , «a-l] X [ffl„+/? + 2, • • • . «'a + ;84-}']'

La comparaison de (4) et (5) montre qu'on a identiquement

Nous avons donc cette relation

(A) . . [«1, ...,aa + ^ + ^]xK + i, ...,a„+^] =

= [«11 • • -, «a+^l X [Oa + n •••) «a+ZÎ + y]

+ (— l)^[fll> •••,««-!] XK +^ + 2, ••■.«a + ^ + y]-

Il est utile de noter certains cas particuliers. Pour /î = 0, on a

(B) [«1, ...,a„ + y] = ["i, ...,ajx

XK + i, •••,aa+:'] + [«l ,fla-l]X[a„ + 2,..., «a + y].

et pour a = y = 1 ,

(C) [ai,...,a^+2]xK.---.a/9 + i] = [ai.-",a/î + i]X[û'2.---.a;3+2] + (— 1)^- Pour }»= 1, la relation (B) reproduit la loi de récurrence (1); pour

a = 1, il vient

(6) . . . K, ...,aj,4.i] = ai[02, ...,(Tj, + i] + [a3, ...,fly + i]. On en conclut facilement

[02,...,aA] „ I

tandis que, d'après (1),

«1 D'après ce qui précède , cette dernière fraction continue est aussi

égfale à r^ — ' " ' ' — ---i , d'où il est facile de conclure

[«*-!,• ••,Ol]

(7) [ai, Og. •••>«*] = [«*. "ft-i. •■•. «J

Il est clair que le symbole [a^ , . . . , a&, . . . , a„] est linéaire par rapport à un quelconque des éléments a* et, à l'aide de (B), on trouve facilement

(8) . . [aj, ..., a„] = [ai, . . ., aA i] X [«ft + i, ..., aja/t + âl,

où âl est indépendant de a 4 et peut se mettre sous les formes

Sl = {o^, ...,ak- 1,0, ttk+i, ■■., ffln]^^[ai, ••.,^*-2,o'& — l-}-fflft4-l)«fc+2».••>fl»]• Enfin , on s'assure encore facilement des relations suivantes , où m est un nombre quelconque,

wai.^.wflg, ^, ..., wa2„-i, — =[û'i,ff2. ••■,a2«], »w«i, ;r.»wû'3» ;^. .■.,ma2n-\, — -,»wa2n + i =»wX[ai,a2, ..., a2«+i]

2. Il est clair, d'après ce qui précède, que les numérateurs et les dénominateurs des réduites de notre fraction continue s'expriment de la façon suivante à l'aide du symbole [a^, . . . , a»] que nous avons introduit

P2n(2) = [a2» «3^1 *4> • • ■ I ffl2«-l2, fl2n],

Q2n(2!) = [aiZ, 02, Og^, . .., a2n], P2n + 1 («) = [a2i *3^> *4> • • • > '^2n, «2n + l 3], Q2n + l(2) = [aiS, "2. • • • , a2n + l2].

Nous désignerons par P*(z), Q*(«) ce que deviennent Vn(s), Qn(2) lorsqu'on remplace partout Ui par a,+ft. Les formules du n" 1 donneront ainsi des relations identiques entre ces polynômes en changeant at en a,«, lorsque i est impair. On a ainsi les formules

Q2n (s) = a2n Q2n-1 iz) + Q2n-2 (a) , Q2n + l(2) = 02»« + l2Q2n(«) + Q2n-1 (2).

On s'aperçoit facilement qu'on a généralement

P2„ (s) = do + âil 2 + • • . + «Sl„l 3»-l ,

P2«+i(^) = eo + ei0 + --- + e„s«,

les coefficients étant des polynômes des a,-. La loi générale de ces coefficients est un peu compliquée ; elle ne nous serait d'ailleurs d'aucune utilité , mais on reconnaît facilement les quelques expressions suivantes qui nous seront utiles.

6ln-l = «2*3 • • • *2n,

^1 = ^ (ffl + «3 + • • • *2A-l) «2ft,

\aiO2 OgOg a2n-l02n/

Sn ^ % (22 • • • *2n,

Si = ^ (a2 + a4 + --- + «2ft)a2fc + i,

VagOs ago^ a2na2n + ]/

Sn = «2*3' • -02»» + 1, 3)o = 0,

®l=ai +«3+ • • • +«2n + l,

^ VoiO-g 02«3 a2„a2„ + i/

A cause de la relation identique

on a

iBi + ei = ao3)i.

3. Nous allons établir maintenant quelques propositions sur les racines des équations qu'on obtient en annulant les polynômes P et Q. Les polynômes P, du reste , ne diffèrent pas essentiellement des polynômes Q , et nous insisterons surtout sur ces derniers. Dans la relation (A) du n° 1 , posons

a — 2n — 3, P = \, y = 2, il viendra, en changeant toujours ai en UiZ lorsque i est impair,

Cl2n-2 Q2n('2)^[ût2n-2) Cl2n — l 2, «Sn] Q2n-2(2) — 02nQ2n-4 («))

on voit que

Q2n(3), Q2n-2(2), Q2n-4(a). ■•Qzi'^)» Qo (■2') = 1

forment une suite de Sturm. Pour z=: — oo, cette suite présente n variations de signe , pour a ^ 0 il n'y a aucune variation. On en conclut que les n racines de

sont réelles, inégales, négatives et séparées par celles de Q2n-2(«) = 0. Lorsque z passe en croissant par une racine de (^2n{z) = 0, le rapport Q2n-2 («) : Q2n {z) saute de ^ — oo à -)- oo . Posons maintenant dans la relation (A),

a = 2n — 2, /8=I, 7 = 2, on aura

„ Q2n + l(g)r^ „ , « TQ2n-l(g) „ Q2n-3(g). »2n-l — L*2n-1, «2n«, a2»n-lj " 02n + l " ,

donc

Q2n + l(g) Q2n-l(g) Ql («) „

forment une suite de Sturm. Les n racines de

sont réelles, inégales, négatives et séparées par celles de — '^^^ — = 0.

Le rapport Q2n-i {z) : Q2n + i (a) saute toujours de — oo à + oo . Prenons maintenant

on aura

«271-1 ^2n(Z) — L"2n-lS, a2nj Z " ,

donc

Q2n-1 (g) Q2n-3(g) Ql («) „

forment une suite de Sturm: les racines de Q2„(z)=:0 sont séparées par celles de — -^^^^^ — =: 0. Posons enfin

a = 2n—l, P=l, y = l, il viendra

«2nQ2n + l {z) = [p,2n, «2» + ! g] Q2n(3) — Q2n-2(3);

donc

Q2n + l(s), Q2«(S), Q2»-2(g), •.., (^^(z), Qo («) = 1

forment une suite de Sturm. Les racines de Q2« + i (2) = 0 sont séparées par celles de Q2n(g) = 0.

Nous venons de voir que les racines de

Q2n — l(g) r -in

séparent les racines de

Q2n(g) = [ai, Og^» «3» • • •> «2n-li a2ng] = 0.

Donc aussi les racines de

[a2n, 0,2n-\Z, Ci2n-1, • • • > «s^j «2]=^^

sépareront les racines de

[a2ni a2n-l «, «2«-2, • . • , 032. «2» *1 ^]^^ ^>

ce qui revient à dire que les racines de P2„(«)=:0 séparent les racines de Q2«(«) = 0.

De même, on verra que la proposition que les racines de Q2„{«) = 0 séparent les racines de Q2n + i («) = 0 ne diffère pas au fond de celle-ci : les racines de P2n+i(2) = 0 séparent les racines de Q2n + i(2) = 0.

Il résulte da là que dans les décompositions en fractions simples

P2«(g) Ml Mg . M»

F2n + l(g) Nq 1 Ni , Ng , , Nw .

• Q2n+i(a) 2 '^z-{-Xi «-l-ajg^ + a;»'

les quantités M,, N< sont toutes positives. (Il va sans dire que les a;, ne

sont pas les mêmes dans les deux formules.)

4. Les racines de l'équation Q„(a;)::=0 sont évidemment des fonctions des n premiers nombres a,. Peut-il arriver cependant qu'une telle racine ne dépende point d'un de ces a,? C'est ce que nous allons examiner. On a d'après la formule (B) du n" 1 , en employant la notation que nous avons expliquée au commencement du n° 2,

(1) . . . Q2n + 2«'(2) =(^2n{2)qlliz) + q^n-l {z) ?lZ'iZ) ,

(2) . . . Q2„+2„'-n(2)=Q2«(«)Qi;;'+i(2)+Q2«-i(s)p|:'+iU).

Nous savons que les deux polynômes Q„(a),P„(2) ne s'annulent jamais pour une même valeur de z, de même Q»(«) et Q„i(«). Cela étant , il est facile de conclure de la formule (1) :

Si x = a annule deux des fonctions (^2n+'2n'{z), Q2n(^'), P|"'(2), cette valeur x = a annulera aussi la troisième de ces fonctions.

Si x = a annule deux des fonctions Q2n+2niz), Qzn-iiz), Qgn'C^) cette valeur a; = a annulera aussi la troisième de ces fonctions.

Dans le second membre de (1), c'est le polynôme Qg^'C^) seul qui dépend de a2n+i', en mettant en évidence ce coefficient, il vient

(3) . . . . Q2n + 2„'(«:=a2„-MzQ2„(a)P|n'(«) + R(3),

OÙ R(s) est un polynôme qui ne dépend point de a^n+i- H est clair maintenant que les racines de Q2n+2n'(z) = 0 qui ne dépendent point de a2n+i doivent satisfaire aux équations

q2n{z)-Plni") = 0,

Une telle racine doit donc annuler l'un des deux polynômes Q2n(«), P||î'(3), mais, d'après ce qu'on vient de voir, elle annule alors aussi l'autre. Réciproquement, une valeur z = a qui annule Q2n(«) et P|Jî'(2)

annulera aussi Q2n+2n'(s) d'après la formule (1), puis aussi R(2) d'après la formule (3), et sera par conséquent une racine de Q2n+2n'(2) = 0 qui est indépendante de a2n+i- Ainsi les racines de Q2n+2n'(2) ^0 qui sont indépendantes de a2n+i coïncident avec les racines communes des deux équations

Q2„(«) = o, Pl';,iz) = o.

Et il est clair que ces équations peuvent , en effet , avoir des racines communes, car la première ne dépend que des paramètres a^, a^, . ■ . , a^n, la seconde des paramètres a2n+2, «an+s, • • . , «2*1+2»'. Mais on voit aussi qu'en général, c'est à- dire lorsque les ai ne satisfont pas à certaines conditions particulières, ces racines n'existent pas.

On établira de la même façon que les racines de Q2n+2n'(2) = 0 qui sont indépendantes de a2n coïncident avec les racines communes des deux équations

La formule (2) donne lieu à des conclusions analogues qu'il suffira d'énoncer.

Les racines de Qm+in+ii^) = 0 qui sont indépendantes de a2n coïncident avec les racines communes des deux équations

Q2„-i(2) = o, Ql"'+i(^) = o. .

Les racines de Q2n+2n'-i-i(^) = 0 qui sont indépendantes de a2n + i coïncident avec les racines communes des deux équations

5. Nous allons établir maintenant les propositions suivantes qui complètent celles obtenues au n" 3.

Les racines de Q2n+2n'(«) = 0 sont séparées par celles de

et également par celles de

Q2n-i(5!)Qi;;'(«):2=o.

Les racines de Q2n+2n' + i(^!) : s = 0 sont séparées par celles de

Les racines de Q2n+2n'+i{2) = 0 sont séparées par celles de

Q2„(^)PiS'+i(«) = 0.

Pour n' = 0 ou := 1 on retrouve les propositions du n" 3.

Il sufifîra de développer la démonstration de la première proposition

Reprenons la relation

et désignons les racines de Q2n(«) = 0 rangées par ordre de grandeur croissante par

de même les racines de P|"'(s) = 0 par et l'ensemble des racines a et /S par

a5i < 332 < ajg < . . . < Xn+n'-l-

Cela étant , la proposition énoncée revient à ceci : la suite des quantités

où Xq=: — 00 et x„+n' = 0, ne présente que des variations de signe.

D'abord Q2n+2r.'(a:o) a le signe de (— 1)"+"'; quant à Q2n+2n'(a;i) deux cas sont à distinguer selon qu'on a ic^ = a ou Xi^=fi.

Dans le premier cas ,

Q2«+2n'(a;i) = Q2n- 1 (a) Pi"'(a) ; dans le second cas ,

Or, on voit facilement que dans le premier cas Q2n- i (a) a le signe de ( — 1)" et P|îi'(a) le signe de ( — 1)"'+S car a est plus petit que la plus petite racine de Q2n-i(.s) = 0 et aussi plus petit que ^.

Dans le second cas , on voit de même que Q2n(|S) a le signe de ( — 1)", Q|^'(/î) le signe de ( — l)"'+i, car fi est compris dans l'intervalle des

deux plus petites racines de Q|^' (z) = 0. On voit que , dans tous les cas, Q2«+2n'(a;i) a le signe de (— 1)» + »'+^ ainsi Q2n+2n'(a;o), Q2n+2n (aJi) présentent une variation.

Supposons maintenant que, dans la suite des Xi, deux racines consécutives Xk et Xk+i soient des racines a. On aura

Qi2n + 2n'{Xk) =Q2«-l(a) Pi^'(a),

Q2»+2„'(a;fc+i) = Q2«-i(a')Pi;;'(a').

Or, a et a' étant deux racines consécutives de Q2n(a) = 0 comprennent une racine et une seule de Q2n-i(^) = 0: donc Q2n-i(«) et Q2n-i(a') ont des signes contraires.

D'autre part , entre a et a' il n'y a par hypothèse aucune racine fi de Fll-iz) = 0. Donc Pln'(a) et Pi"' (a') ont même signe, et il s'ensuit que Q2n+2n'(Xk) et Q2n+2»'(a;ft + i) présentent encore une variation Dans le cas où Xk = fi, Xk + \=fi', on aura

Q2»+2„'(a;ft) =Q2«(i») Qi;!'(|5), Q2«+2„'(xfc+i) = Q2„ (i8') QlS' (n

Q2n(/?') et Q2„f/S') ont même signe, Ql^'()3) et Ql"'(/Î') ont des signes contraires; Q2n+2n'(a;*) et Q2n+2n'(a;/(+i) présentent encore une variation.

On arrive à la même conclusion dans les deux cas qui restent à discuter, Xk = a, Xk+i = fi et Xk = fi, Xk + i^=a; dans le premier cas

<^2n + 2n'iXk) = Q2» - 1 (a) P^^' (a), ^2n + 2niXk + l) = (^2nifi) ^2n' ifi)-

Q2n-i {z):z a. par rapport à Q2n(2) les propriétés de la dérivée Q2„(.s); ensuite (^2n(fi) a le signe de Q2n («-[-«), Q2n-i («) le signe deQ2n-i(a + e) (s positif très petit).

On en conclut aisément que le rapport Q2n-i (a) : Q2n(fi) est négatif. Ensuite Pi"' {2) a par rapport à Qlû'C^) les propriétés de la dérivée; P|»'ra) a le signe de P|»,(^e); Q|»-(^) le signe de ql-,(fi-e). Le rapport P|U' (a) : Q|^' (fi) a donc le signe de

Pi;;'(i8-«):Qlï'(i5-0,

et ce signe est -}- ? si l'on remarque que /î est une racine de Pf"- (s) = 0 qui est comprise entre deux racines consécutives de Q|^'(s) = 0. Ainsi Q2n+2n'ixk), <^2n+2n (xk + i) présentent encore une variation. Enfin, si l'on a

Q2»+2»'^a;fc) =Q2„(/8) QiJ(/5),

Q2n + 2n'(a;ft + l) = Q2n-1 («) FJn' («),

on constate que Q2n(j5) : Q2n-i (a) est positif, puis Q2n' (/5) : P^n («) ^st négatif.

Les n-\-n' premiers termes de la suite

<^2n + 2n'iXi) (j = 0, 1 , 2 , . . . , M + w')

ne présentent donc que des variations et l'avant-dernier terme est donc négatif, tandis que le dernier terme est positif. La proposition énoncée se trouve ainsi établie.

Nous avons supposé dans ce raisonnement qu'aucune racine a n'est égale à une racine fi. C'est ce qui arrive en général , mais la nature même de la proposition montre qu'il peut en être autrement dans des cas exceptionnels. En effet , d'après notre proposition , chacun des n-\-n' — l intervalles formés par les racines de

renferme une racine a ou bien une racine /î. Mais on ne saurait dire a priori quels sont les intervalles qui renferment une racine a et quels sont ceux qui contiennent une racine /î. En effet , cette distribution des racines a et ^ dans les différents intervalles varie d'un cas à l'autre selon les valeurs des a,.

Les coefficients a< variant d'une façon continue (tout en restant positifs), il doit donc arriver des cas exceptionnels, au moment où la distribution des racines a et /î dans les intervalles subit un changement. Et il est clair que cela ne peut arriver que de la façon suivante: deux intervalles consécutifs renfermant le premier une racine a, le second une racine /5, la racine a peut passer dans le second intervalle, tandis qu'en même temps la racine ji entre dans le premier intervalle. Au II 27

moment critique , les racines a et ^ sont confondues avec une racine de

C'est , on le voit , le cas exceptionnel étudié au n'* 4.

6. Nous pouvons établir maintenant, très facilement , la proposition suivante. Soit Xk une racine de

Xk peut être considérée comme une fonction de a* et la dérivée partielle -^

^Xk

ne peut jamais être négative.

Pour la démonstration , il faut distinguer quatre cas selon la parité de n et de z: il suffira de développer le raisonnement dans un seul cas. Supposons

Q2n + 2n'{Xk) = a2n + lXkCi2n{Xk)PlniXk) + 'R{Xk) = 0,

d'où

fiXk XkCi2„{Xk)'Pl';i'{Xk)

Or, nous avons démontré que Q2n{s)'Pl"'(z) a par rapport à Q2n+2n'(^) les propriétés de la dérivée ; donc

Q2»{Xk)Fl^'(Xk) Q2n + 2n'(^fc)

est positif et, puisque Xk n'est pas positif, la propriété énoncée se trouve démontrée dans le cas de w pair , i impair. Exceptionnellement, la dérivée peut être nulle.