On a identiquement

= 7 ^a2fcP2fc-i

Çl2n(z)

= 1 + 2^«2fcQ2fc-]

= 1 + ^a2*+i«Ps

Par conséquent ,

en supposant que la série

soit convergente

, les séries

^02*P2fc l(a),

^a2kQl2k-l{z),

7 a2fc+igP2fc(g),

7 ,a2*+igQ2*(g),

sont convergentes lorsque z est réel et positif.

Considérons un domaine quelconque S dans lequel le module de z admet une limite supérieure A qui soit finie. Je dis que les séries précédentes sont uniformément convergentes dans S, et puisque leurs termes sont holomorphes dans S, il s'ensuit qu'elles représentent

dans s des fonctions holomorphes. Il suffira de considérer la première série. On a

^a2k P2fc-1 (z) < ^ «2* ! P2A-1 (?) |.

Or P2A i(2) est un polynôme à coefficients positifs; donc

puisque donc

Or, la série

^a2k'P2k~i{z) <2^a2kP2k-iW.

^a2fcP2ft-xW

étant convergente, on peut déterminer un nombre v tel que, pourn^v,

^ a2fcP2A-l('l)<«, n

quel que soit n', e étant aussi petit qu'on le voudra. Pour les mêmes valeurs de n, on aura donc aussi

I n4-»»' 2^ a2fcP2t-l(2) < s,

et, puisque z est un point quelconque du domaine S, cela montre que la série considérée est uniformément convergente dans S. D'après cela , nous avons

P(«)= ^ 02* P2fc-i (2) =limP2„(2),

q{zy= 1 + ^"02ft Q2ft-i{2) =limQ2„(2),

Pi{z) = 1 + 2^a2k + izP2k(z) = limP2n + i{z),

Sl(^)= ^a2ft + l2Q2ft(3) = limQ2n + l(s),

les quatre fonctions p{z), q{z), Pi{z), îi («) étant holomorphes dans tout le plan. Elles sont liées évidemment par la relation