Il est clair, d'après ce qui précède, que la série

^a2AP2ft-l(«)

est absolument convergente, et même que la nouvelle série, obtenue en remplaçant F2k-i (s) par son expression comme polynôme de z, est absolument convergente. Dès lors, dans la nouvelle série, il est permis d'ordonner suivant les puissances de s, ce qui donnera

et le coefficient a* sera la limite du coefficient £1^ de z'' dans P^niz) (n" 2). Les mêmes conclusions s'appliquent évidemment à g (s), p^iz), qi{z).

Nous venons de voir que Fzniz) tend uniformément vers p{z), et il est clair que p (g) est une fonction continue de z. On peut en conclure que,

étant une suite infinie de nombres et lim 0n = Z (pour « = oo ) , on aura aussi

limP2«(2„)=p(Z).

En effet , entourons le point limite Z (supposé fini) par un cercle C. A partir den^v, z„ sera à l'intérieur du cercle et , à cause de la convergence uniforme , on aura

pour n'^v', z étant un point quelconque situé à l'intérieur de C. D'autre part , Zn tendant vers Z , on aura aussi

\p{Zr,)-piZ)\<e, à partir de n ^ v". Or,

et dans la première formule il est permis de remplacer z par Zn\ dès lors , on conclut

|P2«(a«)— p(Zj|<2e,

pour n ^ N, N étant le plus grand des nombres v, v', v". Enfin on trouvera facilement , par la considération de la série

qu'il est permis d'ordonner le second membre suivant les puissances de h, et d'en tirer la conclusion qu'il est permis de différentier autant de fois qu'on le voudra la série

P{e)=2^a2kF2k-i{z); on a donc

p'{z) = \imP'^„{z),

et la convergence de P2„(2) vers p' {z) est uniforme dans tout domaine S oîi 1^1 est limité. Supposant lim Zn = Z, on aura aussi

limP^„(^„)=/(Z).

19. Nous allons obtenir maintenant les fonctions p{z), etc., sous forme de produits infinis, en nous bornant à développer le raisonnement dans le cas de

q{z) = \imq2n{z).

Les polynômes P ne diffèrent pas au fond des polynômes Q, on a remarqué déjà (n" 3, à la fin) que

P2„(^) = Aq1„i(2),

et dès lors il sera facile d'étendre le résultat que nous allons établir pour q (z) aux fonctions p {z) , p^ (z) , Çj (z). On a

Nous supposerons les Xk rangés par ordre de grandeur croissante , /îj étant le coefficient de z dans le développement

Q(«)= T^Pkz".

Lorsqu'on remplace n par n-\-\, nous avons que x^, x^, - ■ •, Xk décroissent , mais il est clair qu'on aura toujours

Xk>^^-

Pi

Par conséquent, pour n = oo, Xk tendra vers une limite positive que nous désignerons par A^, et

Je dis d'abord que la série

Xj ^2 A3

est convergente. En effet , soit k un nombre fini quelconque , en prenant n > A, on aura

Aj /2 A/p X^ X2 Xk

puisque Xi tend vers A, en diminuant toujours. Mais , d'autre part , A, étant la limite de Xi, on peut supposer n assez grand pour que la différence

(^1 +•••+ ij [x^ '^••''^ Xk)

soit inférieure à e, et alors

Aj A/c X^ Xk X-^ Xn

Ceci prouve que la série \\ -r— est convergente et que la somme de

cette série ne saurait surpasser /Sj.

Puisque Xk tend vers ^t, on a

lim Q2„ (— ajft) = 0 = g (— kk) ; les Afc sont des zéros de la fonction q ( — z).

20. Peut-il arriver que plusieurs X soient égaux , qu'on ait par exemple

Xk + l = kk + 2, ■ ■ • = ^k + i,

Xk étant < Aft + i, Xk+i+i > Xk + i? Il faut d'abord remarquer que i sera nécessairement fini puisque la série

est convergente. Ensuite, nous pouvons prendre n assez grand pour que

Xi,...,Xk, Xk + l, . . . , Xk + i, Xk + i + 1

diffèrent aussi peu qu'on le voudra de leurs limites

X^,...,Xk, Xk+i, . . . , Xk+i, Xk+i+i. Nous pouvons donc supposer que

Xk + l, Xk+2, ..., Xk + i

soient tous dans l'intervalle (Xk + i, Xk+i+i).

Ensuite, nous pourrons trouver un nombre n' tel que les racines

Xi + l, xfk + 2, •••) X'k + i

de

se trouvent toutes dans l'intervalle

(^fc + l, Xk + l),

x'k+i+i restant toujours supérieur à Xk+i+i.

De cette façon, on voit que l'intervalle

(X'it + i, X'k + i + l)

de deux racines consécutives de Q2n+2n'( — z) = 0 renferme les racines

Xlt + l, Xk+2, •■•, Xk + i

de Q2n ( — 2) = 0. Or nous avons vu (n" 5) que, dans l'intervalle de deux racines consécutives de

il se trouve soit une racine de Q2«( — z)^0, soit une racine de ^In i — z)'=0. On a donc nécessairement î = 1, c'est-à-dire parmi les nombres

il n'y en a point qui soient égaux.

21. Soit e un nombre positif aussi petit qu'on le voudra; le produit

étant convergent pour toute valeur finie de z, il est possible de déterminer un nombre m tel que

Nous supposons ici que e ait quelque valeur finie fixe. Soit

il est clair que

et puis aussi

A cause de

^=n('+i)xn('+i)-

on en conclut facilement

(2) ^=nKi)+*ï^''

le module de e' étant inférieur à e.

Considérons , d'autre part , pour n > tw l'expression

«-w=n(>+^)xn(i+^).

il est clair qu'on aura encore

d'où l'on conclut

le module de e" étant inférieur à e.

En faisant croître n indéfiniment ,

tendra vers

Dès lors la comparaison des formules (2) et (3) montre que l'on a

limQ2n (») = §, c'est-à-dire la fonction holomorphe q{z) peut se mettre sous la forme

Ainsi, la fonction q{z) est du genre zéro, elle n'admet point d'autres zéros que les — Xk qui sont des zéros simples. On arrive pour p{z), p^{z), Ji (2) à des conclusions toutes semblables.

22. Pour toute valeur de z qui n'annule pas q (z) ou q^ (z) , on a

H^P2>»(g)P(g) lim pr — 7-, = — 7-r >

Nous allons obtenir ces limites encore sous la forme d'une série de fractions simples. Pour cela, considérons la décomposition en fractions simples

P2n(g) Ml , Mg , , Mn ^

Q2n («) ~ 3 + ajj '' « + aîg ■ 3 + «n '

j^ P2h(— a;fc)

Pour n = oo, Xfc tend vers A^, il s'ensuit que M* tendra aussi vers une limite finie /i^^O,

Il est clair que /ik est positif, car, à cause de la relation

Pi (a) Q («) —P («) ?i («) = + 1 .

les fonctions p (z) et g (z) ne peuvent pas s'annuler pour une même valeur z^ — Xk- La série

/*i + /"2 + /^ + • • • est convergente En effet, prenant w suffisamment grand,

/^ + i«2 + • ■ •+ i"fc

différera aussi peu qu'on le voudra de

Mi + M2 + ... + Mfc; donc

-"1 4- • ■ ■ + /** < Ml + M2 + . . . + M, + s,

;.i + ...-f^t<Mi + + M„ + £ = — + «•

Il s'ensuit que la série

oo

est convergente et que la somme de cette série ne saurait surpasser Cela étant , et puisque les nombres

croissent au delà de toute limite , il est clair que la série

définit une fonction méromorphe dans tout le plan.

Soit £ un nombre positif aussi petit qu'on le voudra, puisque A* croît au delà de toute limite, on pourra trouver un entier m tel que

et l'on aura alors , à plus forte raison ,

Xm+i—\e\ >

d'où l'on conclut

En écrivant

on aura

donc (4) . .