Nous venons de voir que la série

est convergente ; plus généralement , on a

^./^t4 = Ci (î = 0, 1,2,3,...).

D'abord la série considérée est bien convergente , car la somme

diffère aussi peu qu'on le voudra de

Mj a;*! 4- ^2 a;^ + . . . + M* x^ ; par conséquent , elle sera inférieure à

Mia;î + ... + M*4+^,

et, à plus forte raison, inférieure à Ci-\-s, puisque

Soit donc

on aura a ^ a. Déterminons un nombre m tel que

e étant un nombre positif aussi petit qu'on voudra , on aura

«' étant plus petit que e. En effet ,

J^ Am + l*^ ^m + 1'*^ Am + 1

D'autre part, on a

et il est clair que

n II

^^ Am + l-*"^ 'lm + 1

donc

(7) Ci=^M,4 + e",

e" étant plus petit que e.

Or, pour n :^ 00 , on a

lim^Mit4=2^/^t^t ;

dès lors la comparaison des formules (6) et (7) montre qu'on a

a = Ci C. Q. F. D.

24. Il suffira d'énoncer les conclusions analogues résultant de l'étude de la formule

en cherchant ce qu'elle devient pour w = oo . On aura

»'t = limN* (A = 0, 1,2,3,...),

0t = liraa;t (/c=l, 2, 3, ...),

lim ^"±^f ! = af) = zo. +y ^* ,

Q,2n + i{s) qi(z) Z 'jii^Z-\-Qk

Ci = Y^v,e\ 0=1,2,3,...).

Considérons sur une droite infinie OX . . . une distribution de masse (positive) , la masse nii se trouvant concentrée à la distance !< de l'origine 0. La somme

peut être appelée le moment d'ordre A; de la masse par rapport à l'origine.

Il résulte alors des formules précédentes que le système des masses

{(Xi,ki) 0=1,2,3....)

a pour moment d'ordre k la valeur c* (A; = 0, 1, 2, 3, . . .). De même, le système des masses

où 00 = 0, aura les mêmes moments Ck.

Nous appellerons problème des moments le problème suivant :

Trouver une distribution de masse positive sur une droite (0 oo ), les moments d'ordre A;(A = 0, 1, 2, 3, . . .) étant donnés.

Désignons ces moments par c^, et remarquons d'abord que ces données de la question doivent satisfaire à certaines inégalités.

En effet, nous supposons qu'il soit possible de trouver des nii, I,, tels que

il s'ensuit (voir la fin du n" 8) que tous les déterminants

Cp + i

Cp + ,

Cp + l Cp + 2

Cp + m

Cp-\-m — 1 Cp-{-m

Cp + 2t

doivent être positifs et, en particulier, les déterminants A„, B„ du n" 11. On en conclut que, si l'on réduit en fraction continue la série

^ z^^ ^~ • • ■ ' on doit obtenir une fraction continue du type que nous étudions avec des valeurs positives des Ui.

Cela étant , nous distinguerons deux cas dans le problème des moments le cas déterminé et le cas indéterminé.

Le cas indéterminé a lieu lorsque les données c* sont telles que la série

est convergente.

Il est facile de justifier cette dénomination: en effet, nous venons de voir que dans ce cas le problème admet au moins deux solutions , soit par le système des masses {/Mi, A,), soit par le système des masses (v,, dî), et, dès lors, il est facile de voir qu'il y a une infinité de solutions. Nous montrerons plus loin qu'il y a même toujours une infinité de solutions dans lesquelles la masse est distribuée sur l'axe d'une façon continue avec une densité finie en chaque point.

Le cas déterminé a lieu lorsque la série

est divergente. Nous montrerons en effet que, dans ce cas, le problème des moments admet toujours une solution et une seule.