Soit

A (2). Ui^). fM, •••

une suite infinie de fonctions analytiques , toutes holomorphes dans un cercle C tracé autour de l'origine avec un rayon R. On aura donc

ces séries étant convergentes tant que | 2: | < R. Considérons la série

nous la supposerons uniformément convergente pour \z\ ^ Rj, c'est-àdire à l'intérieur et sur le contour d'un cercle Cj tracé autour de l'origine avec un rayon Rj plus petit que R.

Soit encore R' un nombre plus petit que R, mais pouvant différer de R aussi peu qu'on le voudra. Nous supposerons encore que le module de la somme

admet une limite supérieure L, quel que soit n et quelle que soit la valeur de a à l'intérieur ou sur le contour du cercle C, tracé autour de l'origine avec le rayon R'. Il peut arriver, du reste, que ce nombre fini L croisse au delà de toute limite lorsque R' tend vers R.

Dans ces conditions, nous allons démontrer le théorème suivant:

La série

est uniformément convergente pour | a | ^ R'.

Et l'on peut ajouter, d'après un théorème connu de M. Weierstrass , que nous avons appliqué déjà plus d'une fois (n°' 15, 17), que cette série représente une fonction holomorphe dans le cercle C. C'est du reste ce qui résultera aussi de notre démonstration,