Rappelons d'abord ce lemme

Si la série

f(z) = J^aiZ<

est uniformément convergente pour \z\ = 'R, on aura

M étant le maximum du module de f{z) pour | ^ | = R.

Et l'on sait que l'uniformité de convergence de la série pour \z\ = R est assurée , lorsque le rayon de convergence de la série surpasse R. On aurait pu considérer une série

la limitation

I«'I<rt

aura lieu alors pour les valeurs positives et négatives de i. La série

étant uniformément convergente pour | 2 | ^ Rj , cela veut dire qu'étant donné un nombre e aussi petit qu'on le voudra , il est possible de trouver un entier n tel que

quel que soit n', et cela pour toutes les valeurs de z dont le module ne surpasse pas Rj.

Cette somme

est une somme d'un nombre fini de séries

toutes convergentes dans le cercle C. Elle pourra donc se mettre aussi sous la forme d'une telle série

En appliquant à cette série le lemme rappelé plus haut , en posant I « I = Ri , il vient

<KÎ

Cette limitation montre que la série

est convergente ; nous posons