A l'intérieur, ou sur le contour du cercle C, on a

IA(«) + /'2(^) + .--4-/'»(^)l<L,

mais cette somme

peut se mettre encore sous la forme d'une série

lH'l^

convergente dans le cercle C. En appliquant le lemme pour \z\ = K,

on conclut

Cette limitation a lieu quel que soit n. Or nous savons déjà qu'en faisant croître indéfiniment n,

tend vers une limite finie c,. On en conclut

et l'on voit par là que la série

F{z) = ^CiZ'

est convergente dans le cercle C, puisqu'elle l'est dans le cercle C qui diffère aussi peu qu'on le veut de C.

28. Soit e un nombre aussi petit qu'on le voudra ; nous avons vu qu'on peut déterminer un nombre n tel que

donc aussi

et puisque

on aura

La?

-RJ

L Af^^Af-J^A?,

Ri*

Nous obtenons une autre limitation , pour la même expression , par

le raisonnement suivant. D'après l'hypothèse admise on a

tant que | s | ^ R'. Or

n + n' + n' oo /n + K' + n' \

« ^ A(^) = £^'- ^ Afj.

En appliquant le lemme pour \z\ = R', il viendra

L Af

^ Vt'i '

donc, en faisant croître indéfiniment n",

29. Nous allons démontrer maintenant le théorème énoncé, en faisant voir en même temps que la somme de la série est F {z). Pour cela considérons l'expression

et soit R" un nombre un peu inférieur à R', la différence R' — R" étant d'ailleurs aussi petite qu'on le voudra.

Soit e un nombre aussi petit qu'on le voudra ; nous allons faire voir qu'on peut trouver toujours un entier n tel que

quel que soit n' et quelle que soit la valeur de z dont le module seulement ne doit pas surpasser R".

Voici en effet comment on obtiendra ce nombre n. Déterminons d'abord un entier p tel que

2L(2;'rx-'-^<|..

Cela est possible puisque R" < R'. Soit ensuite

^='+R7+(RT)+---+y'

et choisissons un nombre positif e' tel que

Ce nombre «' obtenu, on détermine enfin n par la condition

tant que \z\^R^. Cette détermination est encore possible parce qu'on suppose que la série

est uniformément convergente pour [ z 1 ^ Rj. D'après les n°^ 26 et 28 on peut en conclure

Rî

Or on a

c'est-à-dire, si l'on se rappelle la définition de d,

On en conclut , tant que | a | ^ R",

Cette limite supérieure est égale à

et , par conséquent , inférieure à

c'est-à-dire inférieure à

c'est-à-dire enfin inférieure à e.

Notre théorème se trouve ainsi démontré , car la substitution de R" au lieu de R' n'a aucune importance.