Considérons maintenant une suite infinie de fonctions

fii^)> fdz), fd^), '•■, holomorphes dans une aire quelconque S, dont nous désignerons le contour par s. Nous supposerons que la série

soit uniformément convergente à l'intérieur et sur le contour d'un cercle C^ décrit autour d'un point Zq de S comme centre avec un rayon Rj , ce domaine de convergence n'ayant aucun point commun avec s. Nous supposerons ensuite que le module de la somme

admet une limite supérieure indépendante de n dans toute aire S' intérieure à S et sans point commun avec s.

La série

est uniformément convergente dans S' et représente une fonction holomorphe dans S.

Il est aisé de déduire ce théorème de celui qu'on vient de démontrer. Décrivons autour de Zq, comme centre , un cercle C avec le plus grand rayon possible qui ne déborde point en dehors de S. Soient R > Rj le rayon de ce cercle, R' < R le rayon d'un cercle concentrique C qui ne déborde pas en dehors de S'. Il est clair alors que nous pouvons appliquer le théorème démontré et conclure que la série considérée est uniformément convergente dans C, et représente une fonction holomorphe dans C. De cette façon on a étendu le domaine de convergence de la série du cercle Cj au cercle C Soit maintenant Zq un point quelconque à l'intérieur de C, décrivons autour de ce point un cercle C( avec un rayon R[ qui soit entièrement à l'intérieur de C. Alors on voit que la série est uniformément convergente pour \2 — 4 1 = I^'i- O" pourra donc répéter le même raisonnement que nous avons fait pour le point Zq et le cercle C^, et, en continuant de cette façon, il est clair qu'on finira par reconnaître que la série

est uniformément convergente dans toute aire S" intérieure à S' et sans point commun avec le contour de S'. En même temps il est évident que F{z) est holomorphe. C'est là le théorème énoncé, la substitution de S" au lieu de S' étant sans conséquence.

On sait que le maximum du module de /i (2) -|- • • • -}- fn(z) dans S' a toujours lieu sur le contour de S'. Dans l'énoncé de notre théorème on aurait donc pu exiger seulement que le module A (•s) + • • • + /"n {z) sur le contour de S' reste inférieur à un nombre fixe.

Enfin , il serait facile de généraliser notre théorème au cas où il s'agit d'une série dont les termes sont des fonctions de deux variables imaginaires.

31. On peut donner à notre premier théorème une forme un peu plus générale en considérant une suite de fonctions

A(^), /2(^). rA^), •••

holomorphes pour r < | « |< R et par conséquent développables en séries

convergentes pour

Quoique les raisonnements soient absolument analogues à ceux que nous avons exposés, nous devons cependant les indiquer rapidement, parce qu'ils donnent lieu à une remarque qui nous sera indispensable dans la suite.

Nous supposerons que la série

soit uniformément convergente pour ^'i ^ | 2 | ^ Ri