ri<Ri<R
et ensuite si r' est un nombre quelconque surpassant r, R' un nombre quelconque inférieur à R,
nous supposerons que pour r' ^\z\^R' le module de la somme
admet une limite supérieure indépendante de n. Cela étant, on peut affirmer que la série
F(2) = 2^AW
est uniformément convergente pour r' ^ | 2 | ^ R'.
En même temps F (2) est holomorphe pour r < I 2 | < R. On peut d'abord déterminer un nombre n tel que
pour rj ^ I 2 I ^ Rj. On en conclut
d'où l'on voit que la série
est convergente.
Pour r' ^ I z I g R', on a
d'où
et ensuite
c< l< RTi et I Cf |< -pï-
On voit par là que la série
F{z) = J^Cizi
est convergente pour r < ! z 1 < R puisqu'elle est convergente pour r'<lzi<R'.
Ensuite il est facile de voir que , e étant un nombre aussi petit qu'on le voudra, on aura
puis aussi
<^. et
Ri
Z<<li
iM+n' + l
32. On pourra maintenant, par un choix convenable de n et pour
r" g I z I ^ R" (/•' < r", R" < R') , rendre
F(2)-^AW<
Pour cela on déterminera d'abord les entiers p et g par les conditions
Rr) X— ^^<^^.
Soit ensuite M le plus grand des deux nombres
■+^+(-lr)+-+(-lrr
et choisissons un nombre positif s' tel que
2Me'<^e.
Ce nombre e' obtenu , on détermine enfin n par la condition
tant que rj ^ z ^ Rj.
Pour faire voir que ce choix de n satisfait , en effet , à la condition énoncée , remarquons d'abord qu'on aura
co n + n' 4-1
^ Ri'
et
GO
La;
puis aussi
et
La?
Ensuite i
l vient
Pour r" ^ U I ^ R", on aura donc
Cette limite supérieure est égale à
£ Af + £ R'" £ A*
n + ti' + 1
+ ^r"< £ Af + j;; r"'- £ Af
et , par conséquent , inférieure à
c'est-à-dire inférieure à
' + ^^(1^) X— ^+2M.' + 2Ly X-i^ R' ^ r*
c'est-à dire inférieure à e.
Il résulte de cette démonstration que dans le développement
F{z) = J^CiZ\
le coefficient d est la limite du coefficient de z* dans le développement de
^AW,
pour n = 00 . Cette remarque nous sera utile plus tard.
33. Nous avons vu (n" 15) que , tant que la partie réelle de z est positive , la réduite
tend pour n = oo vers une limite F {z) qui est une fonction holomorphe de z. La série
Q2fc-2(2) Q2fc(2)
est uniformément convergente dans tout domaine S dans lequel la partie réelle de z admet une limite inférieure qui soit positive. Posons
on aura
Admettons que z ait une valeur quelconque non sur la coupure , on
aura
Z-\-Xi\
Je désigne par (z) le minimum du module de z + ** lorque ît varie de 0 à 00 en passant par toutes les valeurs réelles et positives II est clair que, lorsque la partie réelle de z est positive ou nulle, on aura
mais si , dans z = a -{- (ii, a est négatif, on aura
On voit que (z) est positif, non nul tant que le point z n'est pas sur la coupure. Puisque , par définition , on a
\Z + Xi\^(z),
il viendra
c'est-à-dire
Oiiz)
Considérons maintenant un domaine quelconque S qui reste à distance finie de la coupure; dans ce domaine (z) aura une limite inférieure i. qui sera positive. Dans tout le domaine S on aura alors
^oTA'
et cette limite supérieure est indépendante de n.
Soit maintenant a un point quelconque du plan non sur la coupure; nous allons montrer que la série
est convergente pour z = a, et que la convergence est uniforme dans le voisinage de a, c'est à-dire dans un cercle C décrit autour de a avec un rayon assez petit pour n'avoir pas de point commun avec la coupure.
Prenons arbitrairement un point Zq et un cercle C^ dont Zq ^st le centre et qui soit tout entier dans la partie du plan où la partie réelle de z est positive.
Nous pouvons alors construire encore d'une infinité de manières un domaine S englobant les cercles C et Cj et qui reste à distance finie de la coupure. Dans ce domaine S le module de la somme
admet une limite supérieure indépendante de n, comme on vient de le voir. D'autre part, nous savons que dans le cercle Cj la série
est uniformément convergente. Nous pouvons donc appliquer le théorème du n° 30 et affirmer que cette série est uniformément convergente dans S et partant dans Cy Et , en même temps , nous savons que F (z) est holomorphe dans S.
Cela revient donc à dire que les réduites
tendent vers une fonction holomorphe F (2), tant que z n'est pas sur la coupure.
