L'étude des réduites d'ordre impair

n P2n + l(z) J^ y^ «2t + lZ

se fait de la même manière et conduit au même résultat. Nous savons que la série

^ ' ai 2 Âm^

est uniformément convergente dans tout domaine S où la partie réelle de 2 admet une limite inférieure positive. Or, à l'aide du théorème du n" 30, on peut conclure que la série est convergente dans tout le plan hors de la coupure, et représente une fonction holomorphe. Ce théorème, en effet, s'applique grâce à la limitation

qu'on obtient sans difficulté.

Dans tout ce qui précède, nous n'avons pas eu à distinguer les deux cas où la série

est convergente ou divergente. Dans le premier cas, les fonctions F(z) et Fi(2) sont distinctes, mais nous n'apprenons rien de nouveau, ce cas ayant été déjà étudié d'une manière plus approfondie.

Mais, dans le second cas, les fonctions F (z) et Fi{z) sont évidemmment identiques et l'on peut écrire pour un point quelconque du plan non sur la coupure

la convergence étant uniforme dans le voisinage du point considéré.

La nature de la fonction F(z) se trouve ainsi mise en lumière; le seul point obscur qui reste à éclaircir, c'est la nature de la coupure. U 80

Pour cela , nous allons obtenir pour cette fonction F (z) une autre expression analytique, plus explicite que la série par laquelle nous l'avons définie jusqu'ici. Mais cette recherche rencontre encore de sérieuses difficultés et exige des considérations assez délicates.

35. Étudions d'abord un cas particulier dans lequel un segment de la coupure ne présente aucune espèce de singularité pour la fonction

Soit

une suite infinie de nombres entiers, positifs, croissants. On aura évidemment , n parcourant la suite de ces nombres ,

limg^ = F(.),

et la convergence sera encore uniforme dans le voisinage du point z. Soient a et 6 (a < 6) deux nombres positifs , nous supposons que pour n=:vk l'équation

n'admet jamais une racine comprise entre — 6 et — a.

Considérons un cercle C dont le centre est le point — — ^ — et dont

le rayon R est un peu inférieur à —„ — On constate facilement que

pour tous les points à l'intérieur ou sur le contour de ce cercle , on aura

en supposant toujours n = vk. Il est aisé d'en conclure , d'après notre théorème, que si l'on pose (n :=»>*)

la série

est uniformément convergente dans tout le cercle C et représente une

fonction holomorphe. Donc la fonction F (z) est holomorphe dans ce cas, même dans un domaine qui comprend à son intérieur une partie de la coupure , et sur le segment de la coupure entre — b et — a la fonction F (z) n'a point de singularités. Cependant il faut remarquer que, dans ce cas, si z est sur la coupure entre — 6 et —a, la relation

lim|^| = F(z)

n'a lieu que tant que n parcourt les nombres vf

Soient r^ , Ri (r^ < Ri) deux nombres compris entre a et b. Les fonctions fk (z) sont toutes holomorphes pour

ensuite pour r^^ z -^R^ la série

Ï^AW

est uniformément convergente , comme cela résulte aisément de ce qui

vient d'être dit et de ce que nous avons démontré déjà antérieurement.

Dès lors il est facile de voir que nous sommes dans les conditions

exigées par le théorème du n" 31 , et nous pouvons conclure : la série

représente pour a < j z ] < 6 une fonction holomorphe qui peut se mettre sous la forme

F{z) = ^CiZ<,

et, d'après la remarque à la fin du n" 32, le coefficient c, est la limite du coefficient de z» dans le développement de

La valeur de c i est donc la limite du coefficient de «-^ dans le développement de

P2n(2) Ml , Ma , , M„

Q2n(2) Z + Xi^ Z-^ X2^"'~ Z-\-X„

Si l'on suppose Xp ^a, Xp + i'^b, ce coefficient est évidemment

Mi + Ms + .-. + Mp, car on a pour a < | z | < 6

36. Nous allons exprimer ce résultat un peu autrement en introduisant une fonction croissante, discontinue <pn{u) qui jouera un rôle important dans la suite de nos raisonnements.

Ayant posé

P2n(z)y Mfc

Q2„(2) Âmt Z-{-Xk'

nous définissons la fonction (pn{u) de la manière suivante

(pn{u)=:0, 0^M<a3l,

99„(m) = Mi, Xi^U<X2,

9)„ (m) = Ml + Mg , X2-^u<Xs,

Ç'„(m) = Mi4-M2-|-M3, X3^U<Xi,

95„(m) = Mi + M2 + .. .-+-M„i, Xn-l^^i<Xn,

9>„(M) = Mi-|-M2-f...-f M„, Xn^U<<X>.

Soit c un nombre compris entre a et 6, on aura

Mi + M2 + ... + Mp = 9>„{c).

Ainsi dans le cas particulier que nous considérons on a

tant que a < | « ] < 6 et la valeur de c i s'exprime par

c i = lim9f„(c), « parcourant toujours les nombres v^.