REMARQUES SUR LES FONCTIONS CROISSANTES ET LES INTÉGRALES DÉFINIES

37. Le problème des moments que nous avons posé au n° 24 nous conduira à considérer une distribution de masse quelconque sur une droite Ox. Une telle distribution sera parfaitement déterminée si l'on sait calculer la masse totale, répandue sur le segment Oo;. Ce sera évidemment une fonction croissante de x, et réciproquement, étant donnée une fonction croissante de a;, on pourra toujours imaginer quelle représente , de la manière indiquée, une distribution de masse. Ceci nous amène à faire quelques remarques sur les fonctions croissantes. Soit donc <p{x) une fonction croissante définie dans l'intervalle {a, b),

une suite infinie de nombres positifs décroissants , tendant vers zéro. Les nombres

(p{x-\-sn) (w=l, 2, 3, ...)

seront aussi décroissants , mais ils resteront ^ gs (x). Ces nombres tendent donc vers une limite déterminée A. Soit

une autre suite infinie de nombres positifs décroissants , tendant vers zéro , on aura encore

Mais il est facile de voir que A = B, et nous pourrons dire que qp{x-\-E)

tend vers une limite déterminée , dès que la quantité positive s tend

vers zéro, d'une façon quelconque. Nous écrirons

+ lira (p (x -{- e) = q> (x) ,

et il est clair que de même <p{x — e) tend vers une limite que nous désignerons par 9 {x). On a évidemment

Lorsque qi(x) = q) {x) , nous dirons que x est un point de continuité ;

lorsque 99 (x) > 9? [x), x est un point de discontinuité , et 99 (a;) — (p (x) est

la mesire de la discontinuité.

Dans tout intervalle (a, /S), il y a des points de continuité.

En effet , soit

k = <p(fi)-<p(a),

et choisissons quatre nombres p, q, r, s, de façon que

« <P< q<r <s<P; il est clair que l'une au moins des deux différences

(p{g) — <p{p), v(s) — ç>{r) sera < -^ • Supposons , par exemple , que ce soit la première de ces

différences qui soit plus petite que -„•

Ecrivons pz=a', q=: /?', nous aurons maintenant un intervalle (a', /S') , tel que

et

De même, en partant de l'intervalle (a', /?'), on pourra trouver un intervalle (a", /S"), tel que

a' < a" < fi" < /?'.

En continuant ainsi , on obtient une infinité d'intervalles

(a, /S), (a',/J'), (a",n, •.•, (a (»», /?<»'), .... tels que

On pourra faire en sorte que

lira a<") = lim )8<"' = y pour n = oo. Or il est clair que y sera nécessairement un point de continuité, car

ne peut pas être plus grand que <f) (/?'"') — 9^ («'"'), quel que soit n: cette

difiFérence est donc nulle. Il est à peu près évident que la somme des discontinuités que peut présenter <p (x) à l'intérieur de l'intervalle (a, V) ne peut jamais surpasser 95(6) — 9? (a). Donc le nombre des discontinuités qui surpassent un nombre donné est fini , et il est clair par là qu'on peut ranger les discontinuités par ordre de grandeur décroissante.

Les points de discontinuité de l'intervalle (a, h) peuvent donc être rangés dans une suite simplement infinie à indices entiers positifs

Cela est vrai même lorsque l'intervalle considéré s'étend à l'infini ; on le divisera en intervalles

On trouvera une suite infinie de discontinuités pour chaque intervalle; l'ensemble des discontinuités constituera une suite à double entrée , qu'on sait ranger comme une suite simple. De là on peut conclure de nouveau , d'après un théorème de M. Cantor, qu'il y a des points de continuité dans tout intervalle. A la vérité , ce théorème se trouve démontré par les considérations précédentes.

38. Si maintenant , à cette notion d'une fonction croissante , on veut associer l'image d'une distribution de masse, on sera conduit à dire qu'en un point de discontinuité il y a une condensation d'une masse

finie. Un tel point est un point matériel de masse <p{x) — «^(a;); et,

superposé à ces masses condensées dans des points, il y aura une distribution continue de masse. Il convient de regarder toujours <p(6) — ç'(a) comme la masse comprise dans l'intervalle (a, 6). L'intervalle (0, X) contient alors la masse (p{x) — 9 (0) ou 9? {x) simplement ,

si l'on suppose 93 (0) = 0. On voit alors que <p{x) — 93 (a;) est la partie de la masse concentrée au point x, qui est censée faire partie de l'in-

+ tervalle (0, a;), tandis que la masse (p(x) — cp{x) est censée faire partie

de l'intervalle (x, x'), {x' y x). En changeant donc la valeur de q){x)

dans un point de discontinuité [naturellement il faut qu'on ait toujours

q){x)^q> (x) ^ <p (x)\ , on ne change en rien la distribution de masse , on fait seulement une nouvelle convention , relative à la façon de compter

une masse concentrée en x, comme appartenant aux intervalles (0, x) et {x, x').

Considérons maintenant le moment d'une telle distribution de masse par rapport à l'origine. Posons a = Xo, 6 = a;„, et intercalons entre Xq et XH,n — 1 valeurs

Xq <^ Xi <ii X^ <Z . . . <i. Xn — 1 *C Xn-

Ensuite prenons n nombres fj, fg. • • • , fn, tels que

Xk-l^èk^Xk.

La limite de la somme

sera le moment, par définition. Considérons plus généralement la somme

(A) . r(Sd[.9(Xi)- <PiXo)']+f(h[.'P{X2)-9(Xi)l+.-.+f(in)[.<p{Xn)-<p{Xn-l)'],

elle aura encore une limite que nous désignerons par

Nous aurons à considérer seulement quelques cas très simples comme

f{u) = u'',f{u)= , , et il n'y a pas intérêt à donner toute sa gêné-

ralité à la fonction /"(«). Ainsi il suffira, par exemple, de supposer la fonction f(u) continue, et alors la démonstration ne présente aucune difficulté , et nous n'avons pas besoin de la développer , puisqu'elle se fait comme dans le cas ordinaire d'une intégrale définie.

La valeur d'une telle intégrale ne change pas, si l'on change la valeur de (p {x) aux points de discontinuité qui se trouvent a l'intérieur de l'intervalle (a, b). Et, en effet, puisqu'il y a des points de continuité dans tout intervalle, rien n'empêche de supposer que x^, X2, . .., x„-i soient toujours des points de continuité. II faut remarquer seulement que a et 6 aussi pourront être des points de discontinuité, mais un changement de valeur de 99 (x) dans ces points-là affecte la valeur de l'intégrale , puisque (p (a) et 99 (b) figurent explicitement dans la définition de l'intégrale comme limite de l'expression (A).

Posons a = loi ^ = fn + i, l'expression (A) peut s'écrire f(b) <p (6) — f(a) <p(a) — <p (Xq) Ifi^, ) — /^(Iq)]

— <piXn)lf{Sn + l)—f(Sn)'],

et l'on a

En passant à la limite , on a donc

/ /•(«) d <p (M) =f{b)<p (6) — /"(a) <p(a) — i (p (u) df(u).

Dans le cas f(i() = — j — , a = 0 = 97 (0) , u -\- X

J M + ic 6 + a;"'"' (M + a;)^

Faisons croître b indéfiniment , en supposant que tp (b) reste finie , on aura

r'^dcp{u) r'^q>(u)du

Il importait de ne laisser subsister aucun doute sur la légitimé de l'intégration par parties dans les circonstances actuelles.

Soit

toujours

cp(u)

une

fonction croissante

(p(oo) = C,

et

posons

' dcp{u)

On définit ainsi une fonction holomorphe dans tout le plan , excepté la coupure, qui se compose de la partie négative de l'axe réel. Cette fonction g? (m) caractérise une certaine distribution de la masse totale c sur une droite OX.

Soit ç'i(m) une fonction de même nature que (p(u),

et posons

Nous allons montrer que, si les fonctions F (z) et Fi (2) sont identiques, on peut en conclure que les fonctions cp (m) et tp^ (m) caractérisent la même distribution de masse ; ces fonctions ne peuvent différer qu'aux points de discontinuité, et peuvent être considérées comme identiques si l'on n'a en vue que la distribution de masse. Il est aisé d'abord de voir qu'on peut écrire

J (z + uf

puisque F {z) = <P' (z) si l'on pose

*(«)=/ ( — 1 i — ]<p{ii)du.

J \a-\-u z -{-uj '

Soient maintenant x un nombre positif, e un nombre positif que nous

allons faire tendre vers zéro; considérons, d'après l'exemple de M. Her-

mite , la différence

^ ' ' J (u — xY -^ E^

Nous allons voir que, pour lime=:0, cette expression a une limite finie. Décomposons l'intégrale en deux

r' 2eiqp{u)du . f^ 2ei(p{u)du J (u^xf + è^'^J (u — xf+^^'

Je dis qu'on aura

r^ 2eiw(u)du . - ,

,. /•■» 2ei(p(u)du . + >

En effet, écrivons

r'' E(p{u)dU rx-^e eqp{u)du . C" eç)(M)dM

/ (u — xf-\-~ê~} (M — Xf +72+7 {U—xf+~^'

on aura

rx-v^e e(p(u)dU ^ j-r-^e g du ( ^ X ^ 1 \

/ r~ /a I — •i<^\ r. r.5^-,^ o=c arctang — arc tang - ,

donc

lim / , ""^^"^-^"^ = 0.

e(p{u)du

D'autre part , dans l'intégrale

la fonction (p{u) pour a; — V^e^ u <^ x prend des valeurs qui sont infiniment voisines de g? (x). Il est vrai que la valeur de <p {x) peut surpasser (p {x) d'une quantité finie, mais cette valeur de (p(x) n'a aucune influence sur la valeur de l'intégrale. Il est aisé de voir alors que cette valeur diffère infiniment peu de

— z*"^ € du — 1

donc

/^ eœ(u)du n -, . .. /^ s<p(u)du

lim / 7 — ^^-^—1 — 5 = ir 9' (^) = l'iïi / / — w i"o • j (u — a;)2+« 2 '^ ^ ' y (m — xf-^-^

On trouvera de même sans difficulté

,. /* 8(p(u)du n + ,

et nous aurons donc

lim[<l'( — x-\- ei) — $ (— X — Ei)'\^ni[(p{x) -\- (p{x)'\.

Posons maintenant

on aura F^ [z) = *i {z) , et , puisque nous supposons F (z) = F^ (s) , les

fonctions $ (z) et *i (z) ne pourront différer que par une constante. On aura donc

* ( — X-\- ei) — 4>{ — X — ei) = *i ( — X-\- ei) — ^^ ( — x — si),

et , faisant tendre s vers zéro , on en conclut

<p(x) + <p {x) = g?! (x) 4- <Pi {x).

Cette relation a lieu pour toute valeur positive de x tandis que nous supposons qp (0) = ç^i (0) = 0. On peut en conclure que les fonctions g? (m) et çjj (m) caractérisent la même distribution de masse. En effet , tant qu'il ne s'agit que de caractériser une distribution de masse , on peut prendre arbitrairement les valeurs de q>(u), qPi(u) aux points de discontinuité Rien n'empêche donc de prendre toujours

De cette façon , on voit qu'on a pour toute valeur positive de x

<p{x) = <pi{x), et , puisque (p (0) := gpj (0) = 0 , les deux fonctions sont identiques.