Soit

une suite infinie de nombres ; nous supposerons que ces nombres sont limités supérieurement et inférieurement.

II en sera de même alors des nombres

Mn, ^n+1, M„4.2, Mn+.3, ■■•,

et ces nombres admettent donc un maximum, ou limite supérieure L„, et également un minimum, ou limite inférieure In. Ce nombre L„ jouira alors des propriétés suivantes :

l'* Aucun des nombres

ne peut être plus grand que L„.

2** Au moins un de ces nombres est égal à L„, ou, si cela n'a pas lieu, on pourra en trouver au moins un qui surpasse L^ — e, s étant un nombre positif quelconque. Lorsque n augmente , L„ ne peut que diminuer , de même l„ ne peut qu'augmenter. Dès lors il est clair que , pour « = 00 , on aura

limL„ = L,

\iml„ =1,

Voici maintenant les propriétés du nombre L : I, Les nombres

à partir d'un certain rang, sont tous inférieurs à L-\-s, e étant un nombre positif quelconque.

En effet, puisque L„ tend vers L en diminuant, on peut toujours

déterminer n de façon que L„ soit plus petit que L-J-e; or aucun des nombres

Un, Mn + 1, Mn+2, • • •

ne surpasse L„, ils sont donc aussi tous < L -f- «• Parmi les nombres

il y en a toujours un qui est, soit = L^, soit > Lj — s. Soit Uk ce nombre , il est visiblement plus grand que L — e puisque Lj ^ L. Ensuite , parmi les nombres

Wfc + l, Mft+2, U/c + S, •••

il y en aura un qui est, soit = Lk + i, soit > L^ + i — s. Soit Ui ce nombre, il sera encore plus grand que L — e. De même, parmi les nombres

il y en aura toujours un «„, qui est plus grand que L; + i — e, et , par conséquent, aussi plus grand que L — «.

En continuant ainsi , il est clair que , dans la suite

Mj , «2 >%>••• >

on peut trouver une infinité de nombres

1*k, Ui, Um, ...

qui sont tous plus grands que L — e. Les indices k, l, m, . . . vont en augmentant ; or nous savons déjà que tous les nombres de la suite

à partir d'un certain rang , sont inférieurs à L -f- «• Il en sera de même pour la suite

M*, Ui, Um, ...,

et nous arrivons à ce résultat :