II. Dans la suite

Mj , «2 , M3 , . . . ,

il existe toujours une infinité de nombres qui sont compris entre L — « et L + «, e étant un nombre positif quelconque.

On verra de la même façon P. Les nombres

à partir d'un certain rang , sont tous supérieurs k l — e. 11°. Dans la suite

il existe toujours une infinité de nombres qui sont compris entre l — e et Z + e.

La considération de ces nombres L et l est due à M. du Bois-Reymond, qui l'a exposé dans un livre paru en 1882 et qui a été traduit en français par MM. Milhaud et Girot. M. du Bois-Reymond appelle L et l les limites d'indétermination des nombres m„; on voit en effet que, pour n infini, m„ finit par osciller entre ces limites. Et il est évident aussi que les nombres u„ ne tendent vers une limite déterminée que lorsqu'on a L = l.

La première application qu'on a faite de cette considération nous paraît due à M. Hadamard qui a remarqué que , dans le cas

M n ^^ '^ \Cn\)

le rayon de convergence de la série

^ Cn 2"

est égal à 1 : L.

41. Je reviens maintenant à la fonction 9?„(m) défini au n" 36. C'est une fonction croissante qui est bien déterminée, même aux points de discontinuité.

Elle ne varie qu'entre les limites

(pn{0) = 0, q>„{co) = --

Soit maintenant u un nombre fixe, positif ou nul, et considérons la suite infinie

Ces nombres sont limités ; je désignerai les limites correspondantes L et l par

i = x(»), en sorte qu'on aura

V (u) ^ X (")• Il est clair du reste que t/j (0) := ;ç (0) =: 0 , et si pour quelque valeur particulière de u on a

nous pourrons en conclure , d'après ce qui précède , que , pour n = oo ,

\im(pn{u) = y>(u) = x(u).

La fonction (pn (m) étant croissante , on reconnaît immédiatement que les fonctions y (m) et x («) sont aussi croissantes.

Ainsi , sous la condition a < 6 , on aura

(1) yia)^y>(b),

(2) xia)^x(f>).

A ces inégalités , nous allons en ajouter une autre d'une très grande importance : c'est celle-ci

Mais la démonstration de cette inégalité exige quelques préparatifs