Calculons d'abord l'intégrale

f [aT"^"'

Sa valeur est évidemment

^j(Mi + M2 + M8 + ... + M„):c* + i

c'est-à-dire égale à

ainsi

J^^~ -<Pn(u)u>'du = ^'- (k = 0, 1,2, 3, ...,2n — 2).

On aura de même

f"[~ — <Pn+n'(y) 7i*rfM = |^ (A = 0, l,2,3,...,2n + 2n' — 2)

et , par suite ,

/ [«p„(M) — 7'„+„'(M)]M*dM = 0 (/c = 0, ],2,3, ...,2w — 2).

D'après un raisonnement bien connu, dû à Legendre, on en conclut que la fonction

doit changer de signe au moins 2w — 1 fois. Or, 95„(m) et ^„4.„'(m) sont des fonctions croissantes l'une et l'autre, puis ç'n(M) est constant dans chacun des intervalles

(Xi , X2) , (X^ , X^J , . . • , (Xn — 1 ) Xn)-

Dans chacun de ces intervalles, (p„(u) — q)„^n'{u) peut changer de signe une fois au plus. Ensuite, il peut y avoir un changement de signe pour les points de discontinuité Xi, x^, . . . , x», cela donne au plus n changements de signe; en tout on en a ainsi 2n — 1 au plus. Mais, à cause de

ç)„(oo)=95„+„'(oo)= — , "1

on reconnaît immédiatement qu'il ne peut pas y avoir d'autres changements de signe. Donc , effectivement , il doit y avoir un changement de signe dans chaque intervalle

(Xi , ÛC2) , • • • ) (Xn — 1 1 Xn) I

et un changement de signe pour

u = Xk (A = 1 , 2 , . . . , w).

Pour une valeur u=:Xk, il faut donc que l'on ait

<Pn{Xk)<<Pn + n{Xk)<(Pn{Xk),

et même dans le cas où la fonction 93„4-„'(m) aurait aussi une discontinuité pour u = Xk (ce qui peut arriver exceptionnellement lorsque les équations

ont des racines communes) , on aurait

(Pn{Xk)< <Pn + n'{Xk)< (Pn+n'iXk)< <Pn{Xk)-

Remarquons ensuite que , puisque

doit changer de signe dans l'intervalle {xk, Xk-\-î) et que q>n{u) est constant dans cet intervalle, g9„+„'(M) doit effectivement croître dans cet intervalle. Or, cette fonction ne croît que par sauts brusques , les points de discontinuité étant les racines de

On en conclut que, dans l'intervalle {Xk.Xk + i)., il doit y avoir au moins une racine de cette équation.

On retrouve ainsi une proposition que nous avons déjà obtenue d'une façon plus complète (voir n" 5).

43. Pour démontrer maintenant l'inégalité (3), plaçons-nous dans l'hypothèse contraire; supposons qu'on ait

W{a)> X (b) , on pourra trouver un nombre positif e tel que

w{a) — £>xQ>)-\- ficela étant , d'après les propriétés des limites d'indétermination , nous savons qu'il existe une infinité d'indices croissants

tels que cpn (a) pour n = vk est toujours > v (a) — «• Et il existera aussi une seconde suite d'indices croissants

tels que (p„ (b) pour w =: v^^ est toujours < x 0) + ^-

Je dis maintenant que, pour « := v^ et aussi pour n = r^, l'équation

ne pourra jamais avoir une racine comprise entre a et 6. En effet, supposons que pour n = Vk cette équation ait une racine c comprise entre a et b. Alors la fonction 9?„(m) aura encore une discontinuité pour u = c, et, puisque g5„(a) est déjà supérieur à \p{a) — «, on aura

Or, dans la suite

+ <Pn (C) > V (a) — «•

n, V2, ..., ni ••■, nous pourrons toujours trouver un nombre v'j^= n' supérieur à «=:»'*. Dès lors, on devrait avoir

(Pn(C)< (pn'{c)<<p„(C).

Mais c'est là évidemment une absurdité , car

<Pn'{C)^<Pn'(b)<X(b) + e,

tandis que

<Pn {c)>y}{a) — e> X (*) + «• Il est ainsi prouvé que l'équation

ne peut avoir aucune racine entre a et 6 lorsque n=:v/c, et l'on verra de la même façon que cela est vrai encore pour n = v'^.

Puisque donc, pour une infinité de valeurs n = vii, l'équation

n'admet aucune racine entre a et 6, nous savons (voir n°^ 35, 36) que la fonction F («) admet un développement

convergent pour a<i\z <b, et la valeur de c i est la limite de q^nic), c étant un nombre fixe entre a et b, n parcourant les valeurs

Mais on peut appliquer le même raisonnement en faisant parcourir à n les valeurs

et puisque , dans les deux cas , la fonction F {e) est la même , on devrait avoir

c i = lim 93 (c) = lim y (c).

Or cela est une absurdité évidente , car tous les nombres cp (c) surpassant y) (a) — £ et tous les nombres 99 , (c) sont inférieurs à

Z (è) + « < V (a) — «• La contradiction qui se manifeste ici montre que l'hypothèse d'oïl on l'a déduite , et qui consistait à admettre que

V(a)>z(6), doit être rejetée. L'inégalité (3) se trouve démontrée.

44. Ce point important établi , nous pourrons introduire une fonction qui joue le rôle principal dans notre théorème fondamental. Posons

il résulte immédiatement des inégalités (1), (2), que c'est là une fonction croissante; on a d'ailleurs $(0) = 0, et la fonction ne peut pas

croître au delà de — comme tp (m) et % (m). Il est clair que donc

De même

<P{u)^X (m)- Ainsi, lorsqu'on a n>{u)'> x{u), $ (m) est discontinue et la mesure de la discontinuité n'est pas moindre que %p{u) — ^ W> mais elle peut être plus grande. Aussi $ (m) peut être discontinue même en des points pour lesquels rp {u}z= ^ (m). Mais , $ (m) étant une fonction croissante , nous savons qu'elle a des points de continuité dans tout intervalle.

Or, si l'on a

on conclut rf>{u) = x(u) = ïim<pn(u) pour n = oo. Donc, dans tout intervalle, il y a des points u tels que 9?n(tt) tend vers une limite finie pour n= 00,

Voici maintenant une propriété de la fonction <P (m) qui nous sera très utile. Considérons la fonction <pn(u); elle est discontinue pour u=:xic et pour n' > w on a

<Pn (Xk) <<Pn' {Xk) < <Pn («*).

Il s'ensuit évidemment que yf{xk) et xixk), les limites d'indétermination des 9'„' (xk) pour n' = ao , sont aussi comprises entre ç>n {Xk) et

+ q>„{xk): donc

(pn (Xk) ^ * (Xk) ^ <Pn (Xk).