Considérons maintenant les équations

et un intervalle quelconque (a, 6),

Deux cas peuvent se présenter :

Ou bien les équations

pour lesquelles il n'y a aucune racine entre a et 6, sont en nombre fini; ou bien ces équations sont en nombre infini.

Dans le premier cas, nous dirons que l'intervalle (a, b) est de première espèce ; dans le second cas , il est de seconde espèce.

Lorsque l'intervalle (a, b) est de première espèce, il existe un nombre V, tel que pour w > v l'équation

Q2»(— «) = 0 a toujours au moins une racine entre a et 6, et cette propriété est évidemment caractéristique pour un intervalle de première espèce. Ainsi, lorsque, pour une valeur particulière de n, l'équation a deux racines entre a et b, l'intervalle est toujours de première espèce , car les équa

tiens suivantes de degrés supérieurs auront toujours au moins une racine entre ces deux racines-là.

Supposons que l'intervalle (a, b) soit de seconde espèce et, en outre, que les points a et 6 soient des points de continuité de $ (m) et de toutes les fonctions q}„ (m). Il résulte de cette dernière hypothèse que :

^{a) = lim<pnia),

n = oo

Je dis qu'on a nécessairement * (a) = $ (6). En effet , supposons

*(a)<$(6), on pourra déterminer un nombre positif e tel que

D'autre part , pour toutes les valeurs de n au-dessus d'une certaine limite n > V, on a

Il s'ensuit que, pour ces mêmes valeurs de n, on a

<Pn{a)<q>n (&)•

La fonction q)„ (m) doit donc augmenter effectivement lorsque m croît de a jusqu'à b. Cela n'est possible que si l'équation

Q2«(— a) = 0 a au moins une racine entre a et b. Comme cela doit arriver pour toutes les valeurs de n qui surpassent v, on en conclut que l'intervalle (a, b) est de première espèce , contrairement à l'hypothèse admise. On a donc bien

Pour n > V, on aura toujours

\<Pn(b) — <P(b)\<s;

mais , puisque 4> (a) = <I> (6) , il est évident qu'il s'ensuit

I çjn (M) — * (M) I <S,

pour toutes les valeurs

C'est là un résultat important; il suppose que l'intervalle (a, b) soit de seconde espèce et que a et 6 soient des points de continuité de ^(m) et de toutes les fonctions q^niu). Dans le cas a=:0, l'intervalle (0, b) peut être de seconde espèce, mais voici dans quelles circonstances seulement. L'équation

ne doit jamais avoir une racine égale ou plus petite que 6; car, si cela arrive, l'équation

a toujours pour n' > n une racine dans l'intervalle (0,6), qui serait ainsi de première espèce. Donc, si l'intervalle (0,6) est de seconde espèce, on a toujours

<Pn{b) = 0,

et par conséquent * (6) = 0. Les fonctions g?„ (m) et $ (m) sont identiquement nulles dans tout l'intervalle

46. Soit L un nombre positif quelconque et considérons l'intégrale

Entre 0 et L, j'intercale k — 1 nombres u^, u^, . . . , u^-i

Wo = 0<Mi <M2< •••<"*-! <Wa = L,

d'une façon quelconque. Je désigne par e l'étendue du plus grand des intervalles («<!,«,•), {i= l , 2, . . . , k).

Pour simplifier un peu les raisonnements , je supposerai qu'aucun point M,- {i^l, 2, . . . , k) ne soit racine d'une équation

ou un point de discontinuité de * (m). Puisque l'ensemble des racines et des points de discontinuité de $ (m) peut se ranger sous la forme d'une suite infinie, il existe de tels points m, dans tout intervalle. Le point «0 = 0 n'est pas une racine, mais il peut être un point de discontinuité pour * (m). Cependant , cela ne peut jamais arriver lorsque l'intervalle (Mq, m^) est de seconde espèce, car alors $ (m) est nulle dans tout l'intervalle.

A chaque intervalle (Mj-i, m,) j'associe maintenant un nombre entier Vi de la façon suivante. Si l'intervalle est de première espèce , je suppose que le nombre v, est tel que, pour w > v,, l'équation

a au moins une racine dans l'intervalle.

Si l'intervalle est de seconde espèce , je suppose que , pour n > v, et

on ait

e' étant un nombre positif arbitraire , le même pour tous les intervalles de seconde espèce.

Cela étant , soit N le plus grand des nombres

je supposerai désormais w > N, et je cherche une limite supérieure de l'intégrale

J Iv'nCM) — *(M)|dM.

Pour cela, je la décompose dans une somme de k intégrales

^ f '\<Pni'U) — <t{U)\dU.

Si l'intervalle (Ui-i,Ui) est de première espèce, la fonction ç3„(m)

aura au moins un saut brusque dans l'intervalle pour m = c et

Les deux intervalles

[çJn (M i - 1) , ÇJn (M j)] et [* (M,,- i) , * (M j)]

auront donc au moins un point de commun , par conséquent

97„(Mi)^*(M,i), $ (Mi)^99„(Mi i).

Dans tout l'intervalle, on a évidemment

<Pn(Ui-l) — ^ (Ui) ^(pn(U) — * (M)^g9„(Ui)— *(Mi i),

et à plus forte raison

ç>„ (m) — * (//) ^(p„ (Ui) — 9? „ (m . i) + * (m,) — $ (u ,■ i) ,

<pn (m) — * (m) ^ (Pn (M|-i) — <Pn (m.) + * (Wi-l) — * («,),

c'est-à-dire

I ?>» (w) — * (»/) I ^ (pn (".) — Ç'n (m.-i) + * (W<) — 4> («i i).

On en conclut

' 1 «Pn (m) — l» (m) dW ^ « 1 Ç)„ (m,) — <p„ (Mi i) + * (Mi) — «I> (Mi i)\.

Le facteur qui multiplie e est la somme des variations de fonctions ç)„(m) et <P(u) dans l'intervalle (mj i, m,). La somme de toutes les intégrales

/ |97„(m) — *(M)idM,

pour lesquelles (Mi i, «<) est un intervalle de première espèce, a donc pour limite supérieure

« («1 + "ê > Oj étant la somme des variations de 95» (m) dans ces intervalles , og la somme des variations de * (m). Il est clair que a^ est inférieur à la variation totale de (pn{u), c'est-à-dire à

<Pn(°o) — (pn(0) = —-

De même Og est inférieure à la variation totale de <ï> (m) qui , elle aussi, ne peut péis surpasser On peut donc adopter pour limite supérieure

de la somme considérée l'expression

Si l'intervalle (Mi i, Mi) est de seconde espèce, on aura dans tout l'intervalle, à cause de la valeur de w > N^vi,

/"( I <pn (m) — 4> (m) i dM < s' (Mi — Mi i).

La somme de toutes les intégrales de cette espèce sera donc infé-

Heure à Le', puisque la somme des intervalles est évidemment inférieure à L.

D'après cela , il est clair que nous pouvons énoncer la proposition suivante :

L,e,e' étant des nombres positifs arbitraires, il existe un nombre entier N tel que, pour w > N,

[ i <p„ (m) — $ (m) I dM < -^ + Le'. J "1