Il est évident que

P-2n (g) /"" dq>n(u) f^ <p„(u)du

Q2«(g)~j 3 + U -J (Z + Uf

3n(g) r ^ (m) du r» yn (m) — ^ (u) , ,„(z) J (z+uf-J (z + uf ""'

z étant un point quelconque non sur la coupure. On en conclut

I Pan (g) r <i>(u)du I /•" \<pn(u)—<i>(u)\

Q2«(g) J (^ + Uf\^j |g + «l^

La limite supérieure peut s'écrire

r i^"/^)-y du + r ^,(ip^^i^ du.

Adoptons deux nombres positifs e, e' et déterminons N comme dans le n" 46, on aura, pour « > N,

J \z + u\^ ^ (zf\ai ' y

{z) étant, comme au n" 33, le minimum de \z-\-u\, lorsque u varie de 0 à 00.

Pour l'intégrale entre limites L et cxj, j'observe que

et pour z = a-\- ^i,

donc

, 1 r°° du 1

en supposant que L -(- a soit positif. Il vient donc

P2n(«) /-"*(M)dM

Or les nombres L, e, e' étant arbitraires (ou à peu près), il est clair que la limite supérieure peut être rendue aussi petite qu'on le voudra. Il est ainsi démontré que pour tout point z non sur la coupure, on a

n=«>Q2n{z)~J {z-{-uf J Z -\- U

Nous savions déjà que

tend vers une fonction holomorphe F (s) ; nous voyons maintenant que cette fonction peut se mettre sous la forme

Quant à l'uniformité de la convergence , il résulte de la limitation obtenue que la convergence est uniforme dans tout domaine S où la

partie réelle de — s et ^-, est limitée supérieurement. Un tel domaine peut s'étendre à l'infini.

48. De la même façon que nous avons étudié les réduites d'ordre pair, on peut étudier les réduites d'ordre impair, et l'on trouvera

*i (m) étant encore une fonction croissante qui caractérise une certaine distribution de masse sur un axe OX.

Mais il est à peine nécessaire de faire cette recherche, car le seul cas qui nous intéresse est celui où la série

est divergente; mais alors nous savons que F{z) = Fi{z), et il devient inutile de faire une recherche spéciale pour obtenir une forme analytique plus explicite de F^ (z). Les fonctions $ (m) et $i (m) caractérisent alors nécessairement la même distribution d'après le théorème du n" 39. Dans le cas oîi la série

est convergente , il est clair que les distributions de masse caractérisées par les fonctions $ (u) et ^^ (m) sont celles données par les systèmes

{/z,, Ai), f= 1,2,3,..., {vi,9i), i = 0, 1,2,3,...

considérées au n'' 24. Les intégrales

se réduisent alors aux séries

d * (m) f" d^iju)

Z^z-\-Xi' Z^z + di'

Nous avons vu (n^ 15) que x étant réel positif, on a (1) . F{x)='l-^, + ... + {-ir-^'^' + {-ir^% (0<I<1);

or, on a

Il est aisé de voir que , pour x = -\- co, le second membre a pour limite

/oo d «> (m) = «I» (oo ).

En effet, cette intégrale ayant une valeur finie, on peut choisir un nombre L de façon que

/OO rf «> (m) = «1 ,

«1 étant plus petit qu'un nombre arbitraire e. On aura alors

«i étant plus petit que s. Ensuite il est clair qu'on peut prendre x assez grand pour que

e" étant plus petit que e. On aura donc

or, d'après la formule (1), on a

donc

lim a; F (a;) = Cq = — >

/OO d $ (m = Cq.

Ce point établi , nous pouvons écrire

^ ' J [x x(x-\-u)\ ^ ' X xj x-\-u ^ "

Nous savons que , pour a; = oo ,

lima;'

On peut en conclure que l'intégrale (3) rud^(u)

a une valeur finie et que cette valeur est Cj. En effet , si

ud<P{u)

croît au delà de toute limite avec L, le second membre de (2) croîtrait aussi au delà de toute limite pour x=x>, ce qui ne doit pas avoir lieu. L'intégrale (3) a donc une valeur finie , et pour obtenir cette valeur il suffit de faire croître x indéfiniment dans la formule (2). En continuant ces raisonnements , on voit que généralement

u'' d<i> (m) = Cfc.

La distribution de masse caractérisée par la fonction * (m) constitue donc une solution du problème des moments. Dans le cas où la série

est divergente, nous n'obtenons ainsi qu'une solution de ce problème, et . en effet , nous démontrerons bientôt que ce problème n'en admet pas d'autres dans ce cas.

Nous avons vu (n** 42) que

/"[•^-9'»(w)]M*dM = |^ [A = 0, l,2,...,(2n-2)],

et du résultat que nous venons d'obtenir on conclut aisément

/"[-f -*(«)]"* dM = |lf\ (A=0,l,2,3,.,.);

on en conclut que

doit changer de signe au moins 2 n — 1 fois. Soit Xk un point de dis continuité de <pn{u); il est facile de conclure

<Pn{Xk)<<P{Xk)^^{X/c)<(pn{Xk).

Ce résultat précise celui obtenu à la fin du n° 44.

Il est clair aussi que, dans un intervalle où la fonction 4>{m) est constante, l'équation

ne peut avoir plus d'une racine.

49. Je reviens à la proposition du n" 46; pour n > N on a /"^|çp„(u) — «I>{M)|dM< — + Le'.

Nous venons de voir que 4> (oo ) = ç)„ (oo ) = Cq , par conséquent

Co — (Pn(U) et Cq— <I>(M)

ne sont jamais négatifs , et à cause de

<pn (M) — $ (M) = Co — 4> (M) — [Co — ç»» («)],

on aura

I 99„ (M) — <ï> (»/) 1 g I Co — «> (M) I + I Co — <pn (M) I \

or il est facile de voir que

|Co — <Pn(M)l<:J'

|Co-*(«)l<-^-

En effet , considérons la distribution de masse caractérisée par $(m) [ou 97„(M)]. Le moment du second ordre est Cg, la masse totale comprise dans le segment de u à oo est Cq — * (m) , le moment du second ordre de cette masse est inférieur à c^, ; si l'on concentre cette masse au point M, on diminue encore le moment du second ordre; donc

m2 I Co — <ï> (M) ! < Cg.

Il vient donc

puis

( \<Pn{V) — ^(U)\dU<

Par un choix convenable de L, e, «' on peut rendre la limite supérieure plus petite qu'un nombre donné , par conséquent

/QO \'Pn(U) — <ï»(M)|dM=0.