CHAPITRE IX
ÉTUDE DES TROIS CAS PARTICULIERS. SUR LE PROBLÈME DES MOMENTS DANS LE CAS INDÉTERMINÉ.
66. Le résultat auquel nous sommes arrivé dans le n" 47 est parfaitement général et embrasse tous les cas possibles. Cependant , il peut arriver que la fonction $ (m) prenne une forme particulière : c'est ce qui arrive déjà dans le cas où la fraction continue est oscillante. Nous allons étudier ici quelques nouveaux cas de ce genre.
Supposons z^x réel positif; dans quels cas P2n (») et Qsn {x) tendentils vers une limite finie pour « = oo ? Puisque
Q2« (a;) = So + ^1 ^ + • • • + ^n x",
oBi = 2J^(a, + ag + . .. +a2fc-i)a2ft,
il faut certainement que Sj reste fini : la série
doit être convergente. Mais cette condition nécessaire est aussi suffisante, car, puisque les racines de Q2n(2) = 0 sont réelles et négatives, on a
/ éBi xV cft Q2n(a;)<(^l + -^j <eAx<;eax
La série a étant convergente , il s'ensuit que la série
V,a2fc est aussi convergente. Quant à la série
elle peut être aussi bien convergente que divergente.
Mais, dans le premier cas, on retombe sur le cas déjà examiné, où aussi
Pin + lix), Q2n+l(^)
restent finis Nous aurons un cas nouveau en supposant: 1" La série
est diverg-ente ; 2° La série
est convergente.
Par des raisonnements absolument analogues à ceux développés dans le Chapitre IV, on arrivera aux conclusions suivantes.
Dans tout le plan on a
limP2„(2)=S(3), limQ2„(«)=(a(2),
S{z)etQ,{z) étant des fonctions holomorphes. Ces fonctions sont du genre zéro et n'ont que des zéros simples , qui sont réels négatifs. On a par exemple
où aie est limite de la Ji'^"® racine de
pour n = 00.
La fraction continue converge vers
i— -2 + aft
et la distribution {yk, a a) est la solution du problème des moments qui est déterminé et n'en admet point d'autres. Puisque
Q2n + l(g) aigQo(g) + aaSQ2(2)+--- + a2n + lgQ2n(g)
et que Q2n(2) tend vers 6l{z) tandis que la série
est divergente , on voit facilement que
„=xai + a3 + ...+a2n+i ^'
4e même
lim %+l(^) . ^ ^ g (^)
n = ooai + «3 + ... +a2n+l
Ainsi se vérifie donc la convergence de la fraction continue , puisqu'on a aussi
n = oo Q2n + l(3) â(s)
67. Voyons maintenant dans quel cas P2n + i(a;) et Q^n + iiz) tendent vers des limites finies. Puisque
il faut certainement que la série
soit convergente. Mais cette condition est aussi suffisante. La convergence de a' entraîne celle de
quant à la série
elle peut être convergente ou divergente; mais, dans le premier cas, on retombe sur un cas déjà étudié.
En supposant au contraire :
1° La série
est divergente ; 2° La série
y (03 + 04 + ■ • • + «2ft)a2fc + i est convergente.
On a un cas particulier nouveau, qui conduit aux résultats suivants Dans tout le plan on a
IimP2„+i(2)= ^1 {z), \imQ2u + i{e) = £li{z),
^1 (z) et â| (2) étant holomorphes dans tout le plan.
Ces fonctions sont du genre zéro et n'ont que des zéros simples qui sont réels négatifs. On a par exemple
où Pit est la limite de la A'*™» racine de
Q2h+i(—z):z = 0, pour n = 00 .
La fraction continue tend vers
Q,{z)- z'^z + ^,^è + fi,^--'
et la distribution (^4, A*) (^o = 0) est la solution du problème des moments.
On a ensuite
lim P^»(^) __ = § (2) ,
ce qui met en évidence la convergence de la fraction continue.
.) X ffs^S- • -«an,
.) X a^a, . . . a2n, .) X agCs- . •a2« + ] ,
.) X «1 Og . . .02n + i;
68. Je reprends les formules du n" 2, mais pour ordonner maintenant
les polynômes P„, Q„ suivant des puissances descendantes de la variable
P2„(a) = 2"-Ml+a0-i + a'2-2 +
q2n + i(z) = Z" + Hl + ÔZ~' -{- ô' Z-^ +
on aura, en introduisant les bk,
Posons aussi ^2=1, puis
on aura
et il est clair que les TJ« : V„ sont les réduites de la fraction continue
bj
en sorte qu'on a
Un + l Un -|- ^«' Un — 1 ,
En supposant donc d'abord t positif, les U„ et Vn vont en augmentant. Pour qu'ils tendent vers des limites finies , il faut évidemment que les quantités a, fi, y, ô restent finies. Cette condition revient évidemment à celle-ci : la série
RÈCIffiRCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 62Ô
doit être convergente. Ensuite on reconnaît facilement que cette condition nécessaire est aussi suffisante , et qu'elle conduit à cette conséquence : pour toute valeur réelle ou imaginaire de <, on a
limU,i = u(t), lira V,i ^=v{t),
u{t) et v{t) étant deux fonctions holomorphes. On a donc
lim^M^ = ltar"*'-^'
La fraction continue est donc convergente , et en effet il est clair que la série
,ak
doit être divergente, puisque nous supposons que la série
est convergente.
69. Posons 71 = 2 m ou n = 2m-\- l selon que n est pair ou impair, on aura
V„ =•(! + X^t){l -\- X.J) . . .{l + Xmt),
OÙ nous supposerons
