X-j ^ X2 ^ X^ ^ . . . J^ Xm j
ce sont là les racines de
Q2n(— £') = 0 OU de Q2„ + i(— z) : 5( = 0,
rangées par ordre décroissant. Lorsque n croît, une racine Xh de rang déterminé k croît aussi , et elle tend pour k=<x> vers une limite déterminée. Et , en effet , elle ne saurait croître indéfiniment puisque la somme de toutes les racines reste finie.
SâO RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES.
Si nous posons on aura
et deux r/t ne peuvent pas être égaux (voir le raisonnement du n" 20). La série
est convergente et l'on a
vit) = {l + r,t){l-{-r,t){l + r,t)....
Considérons la décomposition en fractions simples
où C„ = 0 lorsque n est pair, C2m + i>0
C„ + 91li + Sîts + . . . + 9n„ = 1 ,
+ Xkt
Pour w = 00 , la constante positive SÎÎ^a tend vers une limite Sk et l'on démontre aisément , en passant à la limite pour w = oo,
ujt) , y^ ThSkt
ou encore
V^-^-L^' + LTi.
en sorte qu'il vient finalement
l-2^Sk
Q» (2) ai 5! «1 ^ s-\-rk
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. 68 i
On voit donc qu'il y a une masse égale à concentrée à l'origine; on a donc nécessairement
1 — ^ 5*1 :ai = l :^a2*-i.
Cette masse sera nulle ou positive selon que la série
est divergente ou convergente. Il est à remarquer que ce second cas est en effet possible; il exige seulement que les 02* croissent rapidement afin que la série
puisse être convergente.
Ensuite il y a les masses concentrées aux points r*, qui pour k = oo se rapprochent indéfiniment de l'origine , la série
étant convergente. On voit donc que la fonction
a une infinité de pôles dans le voisinage de z = 0, et ce point a = 0 peut être un pôle ou non selon les cas.
70. L'une des premières fractions continues que l'on ait considérée en Analyse fournit un exemple du cas que nous venons d'étudier. C'est
è32 RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES.
la fraction continue de Lambert
ga j g-» Z^
Pour la ramener à notre type , nous écrirons
r* = 4:(2A— l)27i2, sjt = 8:(2A— l)2ji2.
On a ici
au
et la série / est bien convergente : en même temps la série
est divergente , il n'y a point de masse concentrée à l'origine. Ensuite on a
Des formules que nous donnerons plus loin (n° 76) permettent de
réduire en fraction continue
fi . 1 e^' — e ^''
fi étant une constante positive. On aurait ainsi un exemple du cas où l'origine est un pôle ; il s'y trouve concentrée la masse /t.
