Nous allons revenir maintenant au cas où la série
est convergente, pour faire une étude plus complète du problème des moments qui est indéterminé.
Soit t un paramètre positif; je considère la fraction continue
qui est évidemment égale à
En développant suivant les puissances descendantes de «, on a évidemment
E étant le premier coefficient qui dépend de t. Posons
les racines de
seront réelles , inégales et négatives ; en effet , 3in {z) est simplement ce que devient Q2n+2(2) pour a2n+2^t. Comparons maintenant les racines de
3i„{z) = 0 à celles de 3in + i(z) = 0. On a
3in + l(z) = [ciiZ, a,, • . . , a2n + lZ, a2n + 2, CI'2n + sZ, Q-
Or, il est facile de voir que si l'on pose
le second membre se réduit à cK „ (s). Les racines de
5Cn + l(«) = 0
sont au nombre de w + 2; si maintenant on fait décroître 02n+2, a2n+3 de leurs valeurs actuelles jusqu'à zéro , ces racines ne peuvent que décroître , d'après la proposition du n** 6. Une de ces racines deviendra — 00 , les autres vont coïncider avec les racines de
Ce résultat peut s'exprimer ainsi : si l'on range par ordre de grandeur croissante les racines positives de
une racine de rang déterminé x^ décroît lorsqu'on change n en n -|- 1. Pour n = 00 on a
lim 3in{s) = g(«) + tçiiz), Xk tend vers une limite finie 1* et
,«+<ft(.) = (i+f)(i+i)(.+|
En effet , on peut répéter tous les raisonnements des n"' 19 et 21. Il est clair que les f^ vont en croissant, mais peut-il arriver que Sk = Sk + i? Le raisonnement du n" 20 ne peut pas s'appliquer ici ; mais on peut procéder ainsi. Si l'on avait èk = ^k + i, on aurait, pour une même valeur finie et réelle de a,
q'{e) + tqi(z) = 0,
L'expression
q{z)qi{z) — qAz)q'(z) = 0.
devrait donc s'annuler pour n = oo , ce qui est manifestement impossible puisqu'elle est égale à
La transformation que nous venons d'indiquer résulte de l'identité bien connue
On a donc bien ^u. < It + i.
Les nombres 1^* sont des fonctions décroissantes du paramètre t\ en effet ft est la limite de x^t qui , elle même est une fonction décroissante de t. Nous avons
^<»)=('+i)('+i)Kt)-
où
Pour i=:0, Ifc devient égal à Iji et l'on a ainsi Pour < = 00 , on doit évidemment avoir
donc
et 0fc est compris entre l^ et A^ + i.
En définitive, si l'on considère les quantités croissantes
on voit que les f ^ sont compris dans les intervalles
(P) (o,-ii),(0i,A2),(«2,>i3),---;
on n'en trouve aucun dans les intervalles
(Q) (>ll,0l),(^,e2),(A3,03),---.
On trouvera facilement
2(«) + <3i(s) L^z-^-Ih
et la distribution des masses
est encore une solution du problème des moments, dépendante cette fois du paramètre t.
