Nous allons montrer maintenant qu'un système tel que
est celui oti la masse ^k concentrée au point 1^ est un maximum. De même dans le système (»;^, 1^), la masse rj'^ concentrée au point 1'^ est un maximum pour k=l, 2,S, . . . . Nous venons de remarquer que cela n'est plus vrai pour k = 0, le système (v^, Ok) donnant alors la concentration maxima à l'origine.
Soit a un nombre positif quelconque ; pour chercher une limite supérieure de la masse qui peut être concentrée dans ce point dans une solution quelconque du problème des moments, je vais considérer les intégrales
r [1 + Xj (M — a) + X2(M — a)2 + . . . + X„(m — a)»]2d v (m) ,
/oo JJ
[1 + Xi (w — a) + X2(m — a)2 4- . . . + X„(m - a)»]^ -^dyj(u).
Ces intégrales ne changent point de valeur si l'on remplace la fonction If (m) , qui caractérise une distribution de masse qui .satisfait au problème des moments , par une autre fonction de même nature. On peut donc supposer que la fonction y> (u) caractérise la distribution qui, au point a, admet la plus grande concentration de masse possible. D'autre part, ces intégrales ont pour M = a un élément égal à cette masse concentrée au point a. Les intégrales sont donc des limites supérieures du maximum cherché. Pour avoir les limites les plus proches possibles, nous allons calculer le minimum de ces intégrales considérées comme des fonctions de Xj, Xg, . . . , Xn, et ensuite nous poserons
Posons , dans le cas de la première intégrale ,
2 = 1 -f Xi(M — a) -t- . . . + X„(M — a)»;
les conditions du minimum sont
/""£(« — a)* dv (M) = 0 {k=l,2 n)
ou
r£{u — a)u''dy>(u) = 0 [A; = 0, 1, 2, ..., (n — 1)].
On en conclut facilement
(M — a) 2=aQ2„ + l(— M) + /8Q2n(— M),
et, pour déterminer les constantes a et ^,
0 = aQ2„ + i(— a)-f/3Q2„(— a), — 1 = a Q2„+i (— a) + /S Q^„ {— a).
Soit , pour abréger ,
on aura
n Q2n(— M)Q2n + l(— g)— Q2n + 1 (— W) Q2tt (— «)
ou
£ = -^ ^a2A + iQ2fc(— M)Q2fc(— a).
La valeur du minimum est
f £^dip(u)=f £dip(u)= -^ '^a2k + i(^2k{—a) f <^2k{—u)drp{u);
dans le second membre tous les termes s'annulent , excepté celui qui répond à k^O; le minimum se trouve ainsi égal à
et, puisque 2 = 1 pour u^a,
A = 2^a2fc + iQlfc(— a).
En faisant croître n indéfiniment, on obtient donc, comme une limite supérieure de la masse pouvant être concentrée au point a, l'expression
1 :[?(— a)gi(—o) — Si (—a) ?'(—«)]• Soit Al ce que devient A lorsqu'on remplace Ck par Cfc + i; le minimurti de la seconde intégrale sera
Or, par ce changement de Ck en 0*4-1,
a2t + i devient («j + «2 + ••• + «24+1)^ 02*4-2,
Q2t(0) devient
(ai + «3 + --- + «2*4-1)^ comme on le verra plus loin n° 77.
On a donc
ii = ^a
et l'on voit facilement que
aAi = A -| Q2n4-l(— a)Q2n4-2(— «)•
En faisant croître n indéfiniment , on en déduit cette limite supérieure de la masse pouvant être concentrée au point a
q(— a) ix (— a) — $1 (— a) 3' (— o) + — 3 (— a) q^ (— a)
Or , lorsque a est dans l'un des intervalles
le produit q{ — a)q^{ — a) est négatif; on adoptera donc comme limite supérieure
1 : [3 (— a) gi (— a) — q^ (— a) i (— a)] ; mais, si a est dans l'un des intervalles
g( — a)2i( — a) est positif; la limite supérieure la moins élevée sera
q (— a) si (- a) — q^ (— o) 3' (— a) + -- g {— a) Si (— a)
