LU
(Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 385- 400.)
Sur les racines de l'équation X„ = 0.
1. Nous aurons à invoquer dans la suite une proposition d'algèbre que nous allons établir tout d'abord.
Soit
une forme quadratique positive des variables x^, x^, . . . , Xm-
On sait que les coefficients an sont positifs. Nous ajoutons maintenant la condition que les autres coefficients a,* soient tous négatifs ou nuls.
Considérons les m équations linéaires
(1) . . . . -^ Y^ = aiiX^-\-ai2X2-\- ...-^aimXm=èi-
Nous supposons que les quantités fi sont toutes positives ou nulles. Dans ces conditions on peut énoncer la proposition suivante : „ Aucune des valeurs de x^, «g, ..., Xm tirées des équations (1) ne peut être négative, et si les quantités |, sont toutes positives alors x^, x^, ■■•, Xm le sont aussi."
Dans la démonstration suivante nous ferons abstraction du cas trivial
dans lequel on a aussi
PC-t — Ouo — — • • • — — OCrn — \J*
On a
m mm
et il est clair par là qu'au moins un des aj, doit être positif car le second membre est positif.
Mais supposons que '-'
^1 » ^2, ■ ■ ■ t Xn
soient négatifs ou nuls, et
Xn-{-\ ) Xn-lrlt •••> Xm
positifs.
Dans la relation
(2) . 'LèiXi-=l,XaikXiXk-\r'^Xi{aiiXi-]ra2iXo-\-.-.-]raniXn)
le premier membre est nul ou négatif. Au contraire dans le second membre la première partie
^.JLaikXiXk 1 1
est nulle ou positive , et il en est de même de la seconde partie
£ Xi {an aîi + a2< «2 + • • • + «ni a;„).
Par conséquent les deux membres de la relation (2) sont nécessairement nuls tous les deux , ce qui exige :
La première partie de notre proposition se trouve établie par là. Pour démontrer aussi la seconde partie nous observons qu'en supposant
X^ ^^— Xn -^— ... — ^ X^ -^— \)
Xn-{-\t Xn-\-2i •••> Xm
positifs les n premiers équations (1) montrent qu'on a
dès que l'un (et seulement un) des indices i, k surpasse n. Et ensuite il est clair qu'on doit avoir
Cette dernière conséquence démontre la seconde partie de notre proposition.
Les équations (3) font voir que dans le cas exceptionnel que nous considérons on a
n » mm
1 1 n+ln+l
en sorte que X se décompose directement dans la somme de deux formes quadratiques positives des variables x^,X2, ...,Xnet x„+\ , x„ +2 , . . . , Xm' Le cas Xi = X2= . . ■ ^Xn = 0 se présente alors dès qu'on prend fj = f^ = . . . = f„ = 0.
D'après ce qui précède il est clair que lorsque X ne se décompose pas directement dans la somme de deux ou d'un plus grand nombre de formes quadratiques d'un nombre de variables moindre que m , alors Xi, X2, . . . , Xm sont tous positifs, même dans le cas que quelques-uns des I, sont nuls.
Corollaire. Soit D le déterminant de X et désignons par D,* les mineurs de D en sorte qu'on a
D a;i = Il Dii -H I2 D2i + . . . + Im T>mi
alors aucun des mineurs D,*: ne peut être négatif. Et si le cas exceptionnel examiné plus haut ne se présente pas, tous les D,i sont positifs.
2. Supposons que sur l'axe des abscisses 0 X on ait dans les points A et B dont les abscisses sont — 1 et -}- 1 deux points matériels fixes , la masse du premier en A étant a, celle du second en B, /S (a > 0, /9 > 0).
Imaginons encore n points matériels de masse égale à 1 , qui peuvent glisser librement sur l'axe et placés entre A et B. Supposons enfin que deux points matériels se repoussent en raison directe de leurs masses et en raison inverse de leur distance. Dans ces conditions il y a une position unique d'équilibre pour les n points placés entre A et B, et si l'on désigne leurs abscisses dans la position d'équilibre par
(4) Xi^>X2>Xs> ...>x„
Xi, X2, . • , Xn sont les racines d'une équation
<p(x) = 0 <p (a) étant un polynôme du degré n défini par l'équation différentielle (5) . .(l-a;2)ç>"(x) + 2[a-/î-(a + /î)x]<p'(a;) + C?>(a;) = 0.
C est une constante dont la valeur est
n(w + 2a + 2/S— 1) comme on le trouve en cherchant le coefficient de x" dans le premier membre de (5).
C'est là un cas particulier d'un théorème démontré dans ce journal , t 6, p. 321 et suiv. i)
3. Les racines x^, x^, ..., Xn dépendent de a et /S et l'on peut les considérer comme fonctions des variables a et /? qui doivent rester toujours positives.
Lorsque a et /3 varient d'une manière continue, Xi varie aussi d'une manière continue et comme deux racines ne deviennent jamais égales, leur ordre de grandeur fixé par les inégalités (4) ne sera jamais changé.
Nous allons démontrer les inégalités
En effet, les quantités x^, ..., Xn dépendent de a et de /5 par les relations
X i -j" JL X % ■^~ 1 Xi "~~ X-y Xi ~~~ Xi — i Xi ~~ Xi -^x
X % ~~~ Xfi
En prenant les dérivées par rapport à a on obtient pour les -â — ^ le système linéaire suivant:
ô a;, , ^ Xi> , , àa;„
(8) . . . • «a-^ + ai2-^ + . •• + «*« ^„ -^^+1
{i=l, 2, ..., n) où
''"~ {Xi+ lf~^ {Xi- If^ {Xi - Xif^ --^ (Xi-Xi-r)^'^ {Xi-Xi+if^-
(Xi Xn) __ 1
Ce système rentre évidemment dans le type des équations (1) car la forme quadratique
est positive , et a;, -f- 1 est aussi positif.
, , , èx, èXo àXn j
Les valeurs de -r-^, \^, . . . , .r sont donc toutes positives.
On trouve de la même manière
Ici les seconds membres sont tous négatifs , et il en est donc de même
èXi
des valeurs des
dfi
4. Considérons le cas particulier a = /S, en sort'î que Xi est fonction de la seule variable a. Il est clair d'abord qu'on aura
X^ -\- Xn — X2 ~r Xn — 1 — X^ -p Xn — 2 — ■ • ■ — ^'
Ainsi en supposant n^2moun = 2m-\-\ il suffira de considérer les racines positives
Nous allons démontrer qu'on a toujours
(1=1, 2, ..., m) En effet supposons d'abord n = 2m, on aura
Xi — a>mXi-}-X^'"''Xi-\-Xi--l'Xi-\-Xi-\-i '" Xi-{-Xm
(i = 1 , 2 , . . . , w) d'où l'on déduit
1) . . . Oii :j- +««2 -r^ + --- + «im -1 — = — :, 2
da ' a a a a ] — x^
en posant
"''■ - (Xi + If + {Xi 1)2 + 2a;? + ^' + ^' 1 1
Pi =
\Xi Xj)'
Qi =
(Xi + x^)'
(aJi + 334)2 (aJi — a;fc)2
(Xi — Xi-if (Xi — XiJ^{f
(Xi-{-Xi-\f (Xi-\-Xi + ïf
(Xi Xm)
(Xi -p 33m)"'
Le système (11) rentre encore dans le type des équations (1) car ttik est négatif et la forme quadratique
wi m ^ — In n 1 \
est positive. Mais les seconds membres dans le système (11) sont tous négatifs et l'on a par conséquent
dXi
da Dans le cas n = 2m-\- l on aura Xm+i ^ 0, et
i-]-l*Xi—l2xiXi — Xi
Xi -j- S/j
Xi + Xi-i^ Xi-\-Xi+ï
3Ji ~p iCm
La seule différence avec les relations (10) consiste , comme on le voit ,
3 . 1 dans le terme ^ — qui est venu remplacer le terme ^ Ce terme
a Xi a Xi
a CCi u CCi Xi
provient de l'action des deux points matériels dont les abscisses sont — Xi et 0.
dXi
da
On trouve les équations linéaires suivantes pour les
""• = {Xi + If + {Xi - If + 2^ + ^' + ^' (î = 1 , 2 , ... »w)
et l'on en conclut les inégalités (9) comme tout à l'heure.
5. Les démonstrations des propositions exprimées par les inégalités (6), (7), (9) que nous venons de développer, nous semble la plus simple si l'on n'a en vue que ces inégalités elles-mêmes. Mais nous avons retrouvé ces inégalités encore comme conséquences d'une proposition d'un caractère plus général , à l'occasion d'études sur la quadrature mécanique de Gauss.
6. Nous allons développer maintenant quelques conséquences qui découlent presque immédiatement de ces inégalités (6), (7) et (9).
Supposons d'abord
l'équation (5) devient
(1 — a;2) tp" (,x) — 2x(p'{x) + n{n-i-l)f{x) = 0 ainsi Xi est une racine de l'équation obtenue en égalant à zéro le polynôme Xn de Legendre.
Prenons ensuite
On a
ou si l'on pose
X ^ C08 ÇJ ,
<p (X) co8^(p = y, d(
donc
cos in + yj <p
cos — <p
et par conséquent Dans le cas
(2 1 — 1)71 Xi = cos — — — - ■ 2 w + 1
on trouve de la même manière
