X =: COS

ç» la;) — ^

sm -g- 95

correspond à a ^ ^ , P= ^ doit être plus petite que la valeur de x,

pour a = ^, /î = — et plus grande que la valeur de rr, pour a = ^ ,

Ainsi on a la limitation suivante pour la racine tj de l'équation

2in . ^ {2i— l)ji

(^> ^°«2-« + ï<^«<^°^TM^-

Cette proposition est due à M. Bruns qui l'a obtenue dans le tome 90 du Journal de Borchardt, p. 327.

7. Nous pouvons obtenir des limites plus étroites à l'aide de î'inégalité (9).

Prenons en effet

on trouvera

X = COS cp ,

<p (x) ^ cos n qj ,

Xi^coa

et en second lieu

on trouve

X = COS q> ,

^ ^ ^ sin ç) '

Xi = COS

D'après les inégalités (9) on en conclut la limitation suivante d'une racine positive de l'équation X„ = 0:

,. iji ^ ^ (2i — 1)71 (B) «°« M^l < ^' < '°' ^^^

Pour une racine négative on aurait évidemment

■'tj

in ^ ^ (2i — l)n

'°^. +1 > ^^ > «o« "^Tt

Soit n = 10 , on a d'après (A)

limites

( 0,98883 Xi 0,03326

( 0,90097 Xo 0,07473

( 0,73305 Xo 0,10956

( 0,22252 Xr 0,14779

et d'après (B)

limites

(0,70711 iCo 0,05225

8. La proposition d'algèbre démontrée dans le n» 1 , ou plutôt le corollaire que nous en avons déduit, se trouve lié étroitement à une question qui se présente dans le problème de la distribution d'électricité sur un système de conducteurs.

Soient Al, Ag, . . . , km les conducteurs, e-^^, fg, • • ■ , fm leurs charges respectives et Vj , Vg , ■ ■ . , V», les potentiels correspondants.

On a

(a) ■Vi = p,lCi +p<2C2 + •••+P«>.«m

(i=l, 2, ..., m) et réciproquement

(i?) ei = 3iiVi + g,2V24---- + ?.».Vm

(Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, § 87.)

La forme quadratique

'L'LqikXiXk est positive. Le coefficient positif qa est la capacité du conducteur Ai tandis que qik est un coefficient d'électricité induit et négatif.

Le système (/S) rentre donc dans le type des équations (1), et d'après notre corollaire les coefficients du système (a) sont donc tous positifs , ce qui est bien connu et ce qu'on établit directement à l'aide de la théorie du potentiel.

Mais le système (/8) n'a pas la même généralité que le système (1) car on a entre les coefficients qik les relations

qn + 3i2 + •• • +2<m^0 (i = 1 , 2 , . . . , m)

tandis que dans le système (1) on n'a pas nécessairement les relations correspondantes entre les flis.

Mais aussi dans le système (a) les p,* ne sont pas seulement positifs , la théorie du potentiel montre qu'on a en outre

D'après cela il est fort probable que si l'on assujettit dans le système

(1) ai\Xi-\-ai2Xo,-\- .. ■■{■aimXm^U

(î = 1 , 2 , . . . , m) les coefficients Uih à ces conditions additionnelles: Si = aii + ai2 + ... + aim^O, il en résultera pour les D^ la conséquence

C'est ce que nous allons prouver en effet,