III) = (IV

Il se confirme ici de nouveau que B = (III) + (IV) est pair. Ensuite on obtient cette nouvelle expression de k

''=TK'+i)--m

C-à-d. en divisant les nombres yq par 2p, il arrive k fois que le reste obtenu surpasse p, ou bien, ce qui est la même chose, en divisant

les nombres yq par p il arrive k fois que le quotient e(^ — ) obtenu est impair. On retrouve ainsi la proposition de tout à l'heure.

5. On obtient une expression de A; qui conduit rapidement à la loi de réciprocité par le raisonnement suivant Pour que la partie fractionnaire de — soit supérieure à -^ iJ faut et il sufifit qu'on ait

x-^<^<x ou -^^ T^ ^y^q'

Pour une valeur donnée de x on obtient ainsi valeurs de y , d'où l'on conclut

et l'on s'assure facilement qu'il faut prendre a;==l,2,3,..., ^—^

En écrivant dans la seconde somme ^^ x au lieu de x on trouve

donc

*-2:|>=rf)+KI-f)! '"■°^^'-

Mais il est clair que

est égal à — s^ ou à — „ — — 1 selon que la partie fractionnaire de -^ est inférieure ou supérieure à | , donc

k = P^l^^-k' (mod2).

On voit en même temps que la somme

qui se présente ici est le nombre

(AOB) = (I) + (II).

(Article rédigé d'après un manuscrit inédit.)

Étude sur l'intégrale f x'^-'^e'dx.