Soit

(1) , F(a)=ra;*-ieM

où nous supposons

0^a< + oo, 0<A:<1.

En développant l'exponentielle on obtient

(2) . • ^(«)=fe- + ^+i + i.2./fc+2 + r:¥^TfeT3 + ----

Cette formule permet de calculer F (a) avec une approximation in définie pour toute valeur de a. Mais dès que a est un peu grand ce calcul devient impraticable à cause des longueurs du calcul, et dans ce cas on devra préférer souvent d'autres formules, même si elles ne permettraient pas d'obtenir F (o) avec une approximation indéfinie.

On obtient un premier développement de ce genre par l'intégration par parties qui donne

|F(a) = a*-ie

-fR»

= Ti + T2 + .... + T„ + R„, Vin = {^ — k){2 — k)...{n — k)Ç

c„ étant une constante indépendante de a.

k — n — l/ix

e'dx.

En effet les deux membres de l'équation (3) ont même dérivée par rapport à a, par conséquent ils seront égaux si l'on peut déterminer Cn de manière que l'équation soit exacte pour une valeur particulière de a. Or si l'on prend a positif mais assez petit pour que

F(a)<Ti + T2 + ...4-T„,

il est clair que l'équation (3) détermine une valeur unique de c« qui sera supérieure à cette valeur particulière de a. On a évidemment

f a;*-»-ie^da; = a*-"-ie« + (w+ 1— A) / x''-''-^e'dx, d'où l'on voit, en posant a = c„ + i, que les constantes positives

''1 > ^2> ^S> ' • • ) Cn • • •

vont toujours en augmentant. On peut ajouter que c„ croît au delà de toute limite. En effet dans le cas contraire on aurait c„ < 6 pour toute valeur de n, 6 étant un nombre fini. Il en résulterait d'après (8)

quel que soit n, ce qui est évidemment impossible.

2. Il est clair que si l'on connaissait la série des constantes

^i) ^2 > C3 , . . . , Cn , • ■ ■

rien ne s'opposerait à un usage légitime du développement (8). Supposons que la valeur de a tombe entre c„-i et c„, on aura F(a)>Ti + T2 + ... + ï„i, F (a)< Ti + T2 + . . . -f- T„.

Mais il reste ici la difficulté qu'il faudrait connaître les constantes Cj, C2, C3, . . . au moins d'une manière assez approchée pour déterminer l'entier n.

Nous reviendrons tout-à-l'heure sur cette question, mais remarquons d'abord que lorsque a est grand les termes de la série

vont en diminuant d'abord pour croître ensuite indéfiniment.

L'indice du plus petit terme T„ se trouve égal à

O étant déterminé par la condition que n doit être entier. Dans le cas 0 = 0, il y a deux termes consécutifs égaux, plus petits que tous les autres , n ^ + ^ est alors l'indice du premier de ces deux termes.

En supposant a grand , on obtient facilement une valeur approchée de ce plus petit terme T„, en effet

Or on a, c et e' désignant des quantités qui tendent vers zéro

avec a

r(a+0) = (a+0)« + ^c-''-^|/^^(l + «'), donc

ou plus simplement

'« •^» = TTrr*yl/f " + «>•

3. Examinons maintenant la détermination des constantes €1,02,0^,... II est évident d'abord que c„ est la seule racine positive de l'équation transcendante

(7) Fm — f-

y ■ 1 — fe ■ , (1 — ft){2 — À:)...(n— 1— A)

mais le calcul de Cn de cette manière est toujours laborieux et devient tout-à-fait impraticable dès que n est un peu grand, ce qui est justement le cas le plus important. En effet pour résoudre l'équation (7) il faudra calculer F {t) par la formule (2) et il est clair que, si l'on ne trouve pas un autre moyen pour calculer Cn, il vaudrait mieux renoncer à l'emploi du développement (3) et s'en tenir à la formule (2).

On peut mettre l'équation (7) sous une autre forme qui permet de voir plus clairement de quelle manière c„ dépend de n et de k. Développons les deux membres de (3) suivant les puissances de a, comme

il n'y a pas de terme sans a dans le premier membre il doit en être de même dans le second membre. On en conclut d'abord que c„ est une racine de l'équation transcendante

ik — n M — n + 1 tk — n-\-2

et ensuite qu'on a identiquement

l-k {i-k)(2-k)...(n-l-k) ! + -„- + .•. + ^Trri

Il est clair que l'équation (8) n'admet qu'une seule racine positive :=c„ car les termes ne présentent qu'une seule variation de signe.

L'équation (8) ne renfermant que le seul paramètre k — n, il est naturel de considérer c„ comme fonction de ce paramètre , mais nous préférons poser

(il) Cn = xM

en sorte que t^x(^) est racine de

jl — m ^2 — m ^S"'" fi — m

(12) vW = Y^:^ + ^^r^+i-;j^(3,^)+l 2 3 (^^)+... = 0.

Le nombre n pouvant avoir les valeurs 1,2,3,. . et A; étant compris entre 0 et 1 , nous n'avons qu'à considérer les valeurs de m qui sont supérieures à 1 sans être entières. On constate d'abord que la fonction x (wi) est constamment décroissante , en effet on a

ot 'dm

dt

^- log(O.V + n ^2 + /li ^2 + 1-^^5 ^2 + --'

d m ~" ^ ^ ' • ^ ^ (1 — mf ^ (2 — w,)2 ^ 1 . 2 . (3 — mf

. , „ . bwèw .

et a cause de t/;=:0, on voit que ^r- et ^^ — sont positifs tous les

1 i dt drim) , .r

deux , donc j — = -, neeatif.

dm dm *»

Mais d'autre part nous avons vu que les constantes

c„, Cn + \, c„4-2, ... c. a. d.

X(m), xim + l), x{m + 2), ...

vont toujours en augmentant. L'explication de cette contradiction apparente se trouve dans ce fait que la fonction x (»*) est discontinue dans le voisinage des valeurs entières de la variable. Une discussion facile montre qu'en désignant par e une quantité positive et infiniment petite , on a

La nature si compliquée de la fonction x (»») = Cn qui vient de se montrer ici , ne semble guère permettre d'obtenir d'une manière simple et commode une valeur suffisamment approchée de c„ comme l'exigerait l'emploi du développement (3). Il faut en conclure que ce développement n'a aucune valeur au point de vue du calcul numérique.

NOUVELLE EXPRESSION DE LA FONCTION F (o).

4. Nous allons considérer maintenant une fonction G (a) définie de la manière suivante

/.oo ,y — kpa(l — x)

Oga<oo, 0<k<l

dx.

L'intégrale définie

n'a pas de sens à cause de la discontinuité pour x= l, mais dans la définition de G (a) figure la valeur principale de cette intégrale d'après la définition de Cauchy

= lim M -\- 1

D'après cette définition , il vient

Q{a + h) — Q{a) 1 /•« a;--fte°(i-^> eMi-a:)i

dx.

Dans le second membre on a pu omettre ici l'indication v. p. car la fonction sous la signe / reste finie pour x = l. Mais on a

donc

Ici f est une fonction inconnue de x mais qui reste toujours comprise entre 0 et h.

Par des raisonnements qui sont trop faciles pour qu'il soit nécessaire de les développer , on conclut de là

h tendant vers zéro , soit par des valeurs positives , soit par des valeurs négatives. Mais cela suppose essentiellement a > 0, et comme on a

f a;-*e<'"-'»da;=r(l — A;)a*-ie''

on arrive à cette conclusion :

la fonction G(o) est continue tant que a est positif et elle admet pour ces valeurs de a une dérivée G'(a) = o*^^ e".

5. Mais il faut encore une recherche particulière pour savoir si la fonction G (a) est continue dans le voisinage de a = 0. Pour cela , remarquons que

^i^)-^i^) = YTÎ^f

a;-* ^ — r— dx

oîx E est une quantité positive que nous ferons tendre vers 0.

Décomposons l'intégrale en deux parties

OÙ Z = «-i croîtra au delà de toute limite.

Ayant

il est clair que

/%.«"^-^'-lrf^/,,. /•' .rf^^-^^-*

,e eKe'

donc

Um/

lim / a;-*

ote=0.

Quant à la seconde intégrale il est clair qu'on aura à partir du moment où l est devenu supérieur à l'unité

r -k^ —^^ // -k dx , r" 0

/ a; * — -, dx< a;-* ,</ .

dx

(a;— l)* + i kH—l)"

donc

/as -ï(l — X) 1

a;~* — ; :: — dx = 0.

On conclut

lim G (e) = G (0).

La fonction G (a) est donc continue même pour a^=0, et nous pou-

vons écrire

G (a) = G (0) 4- Ta;*-! «* dx.

La valeur de G (0) est facile à trouver