V. p. / ~dx=:—^;rri — ^^t:^ = — r (A;) cos A

(v. Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, pag. 145) et comme résultat

de cette analyse nous pouvons donc écrire cette nouvelle expression de la fonction F (a)

(13) . . F (a) = r {k) 008 kTz + p^Y^ V. p.y"° ^~*^'^~'" dx.

AUTRE DÉVELOPPEMENT DE F (a).

6. La nouvelle expression de F (a) que nous venons d'obtenir donne facilement un nouveau développement en série. En effet à l'aide de l'identité

on obtient aussitôt le résultat suivant

(14) F(a)= r(A)cosA;7i+a* -^e"

1 L ln*L L (l-^)(2-/c)(n- 1-^)1

' dx.

On voit , ce développement se distingue de notre premier développement (3) seulement par le terme r(A) cos kn et un changement correspondant du terme complémentaire. Il est clair que

(16) S„-f r(/i:)cosA;;T = R„,

d'où il suit que

4^ = ^ = (l-/t)(2-A)...(n-A;)a*-»-ie».

da da

S„ est donc une fonction croissante de a, or il est clair que pour a positif, très petit S„ est négatif. Par conséquent S„ s'annule pour une seule valeur positive de a que nous désignerons par a» et alors

(17) . . . Sn = (l—k)(2 — k)...(n — k)rx''-'"-^e='dx.

Les constantes que nous venons d'introduire, vont continuellement en augmentant et

finissent par dépasser toute limite fixe , c'est ce qu'on voit exactement de la même manière que dans le cas des constantes Cj, Cg, . . . , c„, . . . Supposons que a tombe entre «n-i et a„, on aura

F (a) > r (/c) cos Ati + Ti + T2 + . . . + T„i, F (a)< r (k) cos k7i-\- Tj -\-'l\ + ... + T„. Mais tandis qu'il n'est pas possible d'avoir aisément une valeur approchée de c„, nous verrons dans la suite qu'on obtient facilement une valeur très approchée de On à l'aide du développement

an — m 3 + 405 m '^ blU3 m' " ' (m = n-\- l — k) dont nous aurons à nous occuper dans la suite.

La comparaison des formules (9) et (16) donne encore cette expression de Sn

S„ = (1 — A) (2 — A) ... (n — A) V (a) — T {k) coskn. En remarquant que

r(k) = (k—l)(k — 2)...(k — n)r(k — n) cos kji^{ — 1)" cos (A — n) 71 il vient , en introduisant le nombre m = w -)- 1 — /c

(18) . . S„ = (l — A;)(2 — A)...(w — À)[v'(a)+r(l — m)cosm7r].

7. On peut ici déjà se rendre compte de l'avantage qu'il y a à substituer les constantes a„ aux constantes c„.

En effet les formules (15), (18) montrent que a„ s'obtient comme racine d'une équation transcendante qu'on peut écrire

(19) . . v(0 + r(l-m)co8m7ï = ^-jV.p.y ^^ dx = 0

tandis que c„ = % (w) était racine de

/l — m i% — m iZ — m w «) = h — 1 1- . . . = 0.

Comme on le voit on peut considérer aussi a„ comme fonction de m simplement et nous écrirons a„ = Xi (w).

Les discontinuités de % (m) avaient leur origine dans ce fait que y (0

est une fonction discontinue de m. Ici au contraire on constate directement que

y>(t)-\-r{l — m.) cos m n

considérée comme fonction de »w, ne présente aucune discontinuité, c'est même une fonction holomorphe dans tout le plan , les discontinuités polaires de v' (0 et de r(l — w)cosw7r se détruisant.

Pour mettre ce fait dans son vrai jour, posons pour simplifier < = 1 , et écrivons a au lieu de 1 — m, la formule (19) donnera

Il y a lieu de rapprocher ce résultat du suivant qui est bien connu et qu'on doit à M. Prym

q(a)=f x^-^e-^dx.

La formule (21) ne définit la fonction G (a) que tant que la partie

réelle de a est inférieure à 1, mais à l'aide de l'identité :j =1 +

on trouve aussitôt

Cette relation permet de calculer G (a) lorsqu'on connaît G (a — 1) et l'on peut continuer ainsi la fonction G (o) dans tout le plan , c'est une fonction qui est holomorphe dans tout le plan, comme la fonction Q(a) de M. Prym. Du reste ce résultat était évident à priori , par le théorème de M. Mittag-Leffler.