Supposons d'abord

Si>0 (i=l, 2, ..,, m) alors on a

Il suffira évidemment de faire voir que D^ > Djg- A cause de cela revient à montrer que pour

ll = + l, l2 = -l, fi = 0

{i > 2) la valeur de x^ tirée du système (1) est positive. Or on a

m mm

£ Xi ^i = Xi — aj, ^ 2 X Uik Xi Xk

1 "il

d'où l'on conclut d'abord que les x, ne peuvent pas être tous nuls ou négatifs, ou bien tous nuls ou positifs et ensuite

Donc si Xy était nul ou négatif, a;^ serait négatif. Supposons donc que

Xi, X2, . . . , x„, (w > n ^ 2)

soient nuls ou négatifs , et

positifs.

On devrait avoir

m n mm

2 iiXi^O = ^Xi{an + l.iX„ + -i -^ . . . -{-amiOCm) + 22 UikXiXk n + 1 1 n+ln+1

ce qui est impossible car le second membre est positif. On a donc nécessairement Xi > 0 ou

Dii>Di2-

Il est clair maintenant que dans le cas

on doit avoir nécessairement

car un changement infiniment petit des aïk suffit pour rentrer dans le cas s,- > 0.

10. Cherchons encore les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'on ait

D'après ce qui précède il est clair qu'au moins un des s, doit être nul mais cela ne suffit pas.

En prenant comme tout-à-l'heure

la condition Dj j ^ Djo revient à x^=^0, et les inconnues x^, X3, . ., Xm se trouvent déterminées par le système

O22 "^2 i ^2îi •'^.S "P ' ' ■ l~ ^2m Xm -^ 1 ) f-t i\ ! 0132 X2 -f- ^33 X^-\- . . . ~\- Qsm Xm = 0 ,

Clm2 X2 ~f~ ClmSX^ -\- . . -p (Xmm Xtn — ^ U.

Deux cas sont à distinguer.