II. Prenons les séries

En multipliant, on peut mettre le produit sous la forme

en posant

h{n) = i:nd)g{^y

d parcourant tous les diviseurs de n. Les courbes C sont évidemment des hyperboles équilatères.

D'après notre proposition, lorsque la convergence de l'une des séries F (s), G (s) est absolue , alors la série

"vw-r 2* ^ S' ^

sera convergente et égale à F (s) G (s).

Nous énoncerons encore la proposition suivante :

Supposons que les séries F (s) , G (s) soient convergentes pour s=:a , elles seront encore convergentes pour s ^ a. Si maintenant la convergence n'est pas absolue, on pourra cependant déterminer deux nombres positifs /S, y, tels que la série F (s) soit absolument convergente pour s = a -[- /5, et la série G (s) absolument convergente pour s=:a-\- y.

Alors la série

est convergente et égale à F (s) G (s) pour les valeurs de s ^ a + ^'^-■

Cette série est aussi convergente et égale à F (s) G (s) pour s^a -\- ^ ■

Lorsque p ou y est égal à zéro , on retombe sur la proposition démontrée plus haut.

(Acta Math., Stockholm, lo, 1887, 299 — 302.)

Table des valeurs des sommes S^ = "^ w-*.

Dans le Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes (tome II, pag. 432) , Legendre a donné avec 16 décimales les valeurs de

Cette table de Legendre ne contient pas de graves erreurs , mais la comparaison avec nos résultats montre que dans 6 cas les valeurs de Legendre ont besoin d'une correction d'une unité de la dernière(seizième) décimale ; ce sont les suivants :

^5) '^T) ^10) '^ID "^lei S.35,

corrections — 1, -\- 1, -\- 1, -\- 1, -\- 1, -\- 1. Ces nombres St figurent dans le développement

log r(l + rc) = - Crc + ^ ^~p^S,x'',

et la table de Legendre a ainsi servi de base au calcul des coefficients du développement de la fonction entière [/"(x)]""^ entrepris par M. Bourguet. (Acta Mathematica t. 2, p. 271 et suiv ).

La disposition de la table suivante n'exige aucune explication, mais nous devons indiquer l'approximation des valeurs inscrites dans le tableau.

On a donné le résultat brut d'un calcul fait avec 32 décimales. Chaque nombre est la somme d'un certain nombre (trente au plus) de nombres