TABLES DES VALEURS DES SOMMES S
lOl
calculés à une demi-unité de la Sâ*""^ décimale près. Par conséquent l'erreur d'une des valeurs données sera toujours inférieure à
Mais il va sans dire que l'erreur sera presque toujours notablement inférieure à cette limite , d'abord par suite d'une compensation d'erreurs et ensuite aussi parce qu'à partir de A ^ 22 on a obtenu S^ par l'addition de moins de 30 nombres partiels.
Les relations
permettent de contrôler l'ensemble des calculs. La première vérification donne une erreur de 5 unités , la seconde une erreur de 3 unités de la 32emo décimale.
Sk
102 TABLES DES VALEURS DES SOMMES Sfc.
k Sft
TABLES DES VALEURS DES SOMMES Sk-
Nous avons mis à profit nos résultats pour calculer la constante Eulérienne d'après la formule
C = 1 + log 2 - log 8 - ^
- So
et nous avons obtenu la valeur suivante qui est exacte avec 83 décimales ; 0 = 0,5772156649 0153286060 6612090082 402.
(Paris, C.-R. ass. franc, avanc. Sci, , sess. i6, i, 1887, 168.)
Sur les maxima et minima d'une fonction étendue sur une surface fermée.
Pour une surface fermée simplement connexe, le nombre des maxima et minima surpasse de 2 unités le nombre des cols (points où il y a maximum par rapport à deux angles dièdres opposés, minimum par rapport aux angles dièdres supplémentaires). C'est un résultat qui découle facilement d'un article de M. Reech (Journal de l'École polytechnique, Cah. 37).
En généralisant, pour une surface fermée quelconque , 2h-\-l fois connexe , on trouve 2 — 2 k pour la différence entre le nombre des maxima et minima et le nombre des cols.
(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 7, 1888, 26—31.)
Sur une généralisation de la formule des accroissements finis.
1. M. H. A. Schwarz a donné, dans les Annali di Matematica de Brioschi (série II , t. X) le théorème suivant :
Soient /"j (c), foit), • ■ -, fn (<) des fonctions réelles d'une même variable réelle t. On suppose que ces fonctions , de même que leurs dérivées jusqu'à .l'ordre n — 1 inclusivement, sont finies et continues.
Dans ces conditions, si t^, (2, . . -, U sont n valeurs différentes appartenant à l'intervalle a, 6, le quotient
ri(ti)f2{h)
fx{k)fAk)
fn ik) fn (h)
fl{tn) Mn) . . . fn{tn)
1 tn n
tr
tr
ti-
n'est pas plus grand que . , „. q, -, — ^^;;^yri et pas plus petit que
. ■ 01 Qi 7- ... , M désignant la plus grande, m la plus petite des
valeurs du déterminant
fAt') fAt')
...fn{t')
mn mn
...ain
f(n-X) (^(„)) fin-l) (^(„)^
fin-}) ■'In
sous les conditions
agi' ^6, t'^t"-^b, t"^t"'^b,
Comme le remarque M. Schwarz, ce théorème permet d'établir, d'une manière rigoureuse , certaines propositions fondamentales dans la théorie des courbes planes ou gauches. Soit, par exemple, M un point d'une courbe gauche, et prenons sur cette courbe trois points infiniment voisins de M. Le plan osculateur en M est la position limite du plan qui passe par les trois derniers points. A l'aide du théorème de M. Schwarz, on reconnaît aussi clairement les conditions dans lesquelles cette proposition est exacte.
2. La démonstration que M. Schwarz a donnée de son théorème est extrêmement simple. La circonstance qu'elle exige des intégrations nous a conduit à chercher si l'on ne pourrait pas arriver au but d'une manière plus élémentaire.
Nous avons reconnu alors que le quotient considéré est égal à
A if)
ou
{fi, (2, . . -, th) désignant un nombre compris entre le plus petit et le plus grand des nombres t^, t2, . . .,tk-
3. La démonstration de ce théorème s'appuie principalement sur le lemme suivant.
Si une fonction f{t) s'annule pour n valeurs différentes de la variable
alors on a
Il faut supposer que la fonction f{t) admet des dérivées f (/), f" {t\ . . ., /<"""' (0 qui sont finies et continues et que /<"-'-'(0 admet encore une dérivée finie /^<" ~^'(0» mais on n'a pas à supposer que /^<" -'' {t) soit continue.
En effet , soit , par exemple , w = 3 et
Ayant on en conclut d'abord
t' étant compris entre t^ et t^ (en excluant les limites), et t" entre ^g^t^s* Ayant donc
on voit ensuite que la fonction f" {t) doit s'annuler pour une valeur de la variable comprise entre t' et t", valeur qui sera comprise aussi entre
tl et ^g.
4. En s'appuyant sur ce lemme, la démonstration du théorème énoncé est très facile. Nous supposerons n ^ 4 , et posons
f{x) g{x) h{x) k{x) î ny) 9 {y) h (y) k{y) f{z) g{z) h{z) k{z) fit) g{t) h{t) k(t)
z S2 gti t f fi
ns la fonction
Il est clair qu'on a identiquement
F(a;) = 0, F{y) = 0, et encore, à cause de la valeur A,
On en conclut
où
ce qui revient à
ny)
Soit maintenant
ny) g {y) h (y) k(y)
r'(i) 9"'iC) h"'(0 k'"{C)
Il est donc clair qu'on a
ê{x) = 0, donc
où
On a , par conséquent ,
ny) 9 {y) h {y) k(y)
f"{n) t"{ri) h"{r,) k"{r,)
no 9"'{C) h"'{0 k"'(C)
Considérons enfin la fonction
S(m) = Il est clair qu'on a
nx) g{x) h{x) k{x)
riv) g" in) h" (ri) k"{ri)
no g"'{0 h"'{0 k"'o)
donc
OÙ
Or cela revient à
fix) g{x) hix) k(x)
/'(l) g' m A'd) k'iS)
f'iri) 9" in) h" (ri) k"(r,)
r'(C) 9"'{C) h'" in r'iX)
ce qui est l'expression du théorème annoncé.
On remarquera que cette démonstration suppose seulement que les dérivées secondes
f"{t), 9"{t), h"it), k"{t) admettent des dérivées
rit), 9"'{t), h"'(t), k"'{t); mais il n'est pas nécessaire de supposer que ces dernières fonctions soient continues.
Mais, si l'on ajoute cette dernière condition [la continuité de f"'{t), g'" (t), h'" [t), k'" {t)'], on conclut directement que, si x, y, z,t tendent vers une même limite a, on a
fia) g' (a) h' (a) k' (a)
lira A =
(Paris, Bull. Soc. math., i6, 1888, 100— 113.)
Sur une généralisation de la formule des accroissements finis.
1. Soient /"(m), g (m), h (m), k (m) quatre fonctions réelles de la variable réelle u. On suppose que ces fonctions sont finies et continues , ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre , et enfin que
r(«). ?"("), h"{u), k"{u), admettent encore des dérivées
r'(M), 9"'{u), h"'{u), k"'{u) mais qui ne sont plus nécessairement des fonctions continues.
Si maintenant x, y, z, t sont quatre nombres inégaux, nous allons considérer le rapport des deux déterminants
fiz) g{z) h{z) k(z)
fit) g{t) hit) A(0
Nous désignerons ce rapport par A ,
Il est clair que A est une fonction symétrique de x, y,z,t, et nous pouvons supposer
x<if <z<it.
On a ainsi
fix)
X x^ sfi
fiy)
kiy)
nz)
gis)
kiz)
fit)
hit)
t fi t^
Remplaçons, dans le premier membre, t par une variable m, on obtiendra une fonction de u qui s'annule pour u = s et pour u = t, et dont la dérivée s'annule par conséquent pour une valeur m = fj = (z, t), en désignant par (z, t) un nombre compris entre z et t (en excluant les limites).
On a donc
fiy) 9 (y) h (y) k{y)
n^ù 9'{^ù h'iC,) A' (Cl)
ar*
2 Cl
Remplaçons, dans le premier membre, z par une variable u: on obtiendra une fonction de u qui s'annule pour u = y et pour u = z et dont la dérivée s'annule pour u = ij^ = (y, z):
fiy) 9iy) hiy) kiy)
firii) g'iVi) h'ivù k'ir,,)
r(Ci) «/'(Cl) /i'(Ci) A;' (Cl)
En continuant ainsi , il vient
fix) gix) hix) kix)
/'(l) p'(C) h'ii) A'(|)
r'im) g'ivù h'irj,) k'irj,)
/'(Cl) <;'(Ci) ^'(Ci) A' (Cl)
2Ci
ar*
2Ci
S = ix,y), ri^ = (y,z), Ci = (a,0x < |< »?i < Cl < <•
Remplaçons maintenant Ci par une variable u , on aura dans le premier membre une fonction de u qui s'annule pour uz=tjj^^ M = Ci et
l'on en conclut
rm ?'(!) h'(^) k'iS)
f'ivi) g'iVi) h'ir,,) k'iv,)
^2 = im > ti) ,
En remplaçant encore rji par une variable m, on trouvera, par le même raisonnement ,
f(x) g{x) h{x) k{x) /•'(f) g'i^) h'{^) k'ii)
fin) g"iv) h"{r,) kf'iv)
/"(fo) 9"{C2) h"(C,) k"{^
'î = (f.'îi),
Et , si nous remplaçons enfin f., P^r ^^^ variable u , on trouvera
g"iv)
c'est-à-dire
f (1) g' (1) h' (1) f" iv) g" iri) h" (ri)
no g
Ayant ^ = (a;, j/), rj^^iy, z) et »? = (f, »?i), on en conclut r] = {x, z) et l'on trouvera de même C = {x, t).
Le résultat que nous avons obtenu peut s'énoncer ainsi :
Le rapport A n'est pas plus grand que iT2T3T^* P^^ plus petit que
-. ■ Q, o) , en désignant par M la plus grande , par m la plus petite des valeurs du déterminant ,
SOUS les conditions
C'est là un théorème qui se rapproche beaucoup d'un autre théorème donné par M. H. A. Schwarz (Annali di Matematica de Brioschi, séri II , t. X). La limitation que nous venons d'obtenir est un peu plus resserrée que celle donnée par M. Schwarz.
