Notre démonstration suppose seulement que les fonctions
admettent des dérivées
Mais supposons maintenant en outre que ces dernières fonctions soient continues, et faisons tendre dans la formule (1) x, y, 2 et t vers une même limite a; il viendra
lim A =
fia)
g'ia)
Considérons le cas où les nombres x, y, z, t tendent de telle façon vers la limite a, que a n'est jamais en dehors de l'intervalle [x, t). Nous allons montrer que la formule (2) subsiste alors sous des conditions bien plus larges relatives aux fonctions f(u), g(u), h{u), k{u).
En effet, il suffit alors que ces fonctions soient finies ou continues
ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre, et que les expressions
tendent pour /i =: 0 vers des limites déterminées que nous désignerons encore par /""(a), g'" {a), h'" (a), k'" [a).
On voit donc que dans la suite nous ne supposerons pas l'existence des dérivées f"'{u), g'" [u), h"'(u), k'" (u) pour des valeurs de la variable autres que a: la formule (1) devient donc inapplicable. Mais nous supposerons toujours
3. La démonstration de la proposition que nous venons d'énoncer se compose de deux parties.
D'abord on démontrera que la proposition est exacte dans certains cas particuliers; ensuite on ramènera le cas général à ces cas particuliers.
Posons
ny) g (y) h (y) k{y)
riz) g{z) h{z) k{z)
fit) g{t) hit) k{t)
En remplaçant t par une variable u, on conclura
fiy) g (y) h (y) k{y)
r(Ci) .9' (Cl) h'i^,) k'iC,)
Cl = (8,0-
Soit maintenant
Après avoir substitué cette valeur de B dans l'équation (4), on trouvera
f{x) g{x) h{x) k{x) f{y) g (y) h {y) k(y) f'iVi) 9' M h' M k'irj,)
Ir(Ci) 9'{C,) h'{^,) k'd:,) Il = (y . «)•
Posons
(7) . Q = {y-x)Ji
et substituons dans l'équation (6): on conclura encore par le même raisonnement
f(x) g{x) k(x) k{x) rU) g'{^) h' {S) k'(^)
f'iVi) 9' M h' {ri,) k'ir,,) nCi) 9'iCx) h'iC,) k'(C,) ^ = (,x,y).
Soit encore
(9) D = (Ci-»?i)E,
il viendra
rH) 9'{^) h' (S) ft'd)
f'M 9'inx) h'ir,,) k'ir,,)
no 9"{C) h"(0 k"{C)
et si nous posons enfin
on aura
C = (»/i. Cl), E = (,?i-|)F,
r(x) g(x) h{x) k{x) f'(è) g' m h'ii) k'(^)
fin) g" (ri) h"{r]) k"{rj)
Les équations (3), (5), (7), (9), (11) montrent qu'on a
et , comme on a
(t — z){z — y) {y — X) (Cl — Vi) (m — f ) ' A = (t — s)(t—y)(t — X)
X(z — y)(z — x) Xiy — X).
il vient
et, d'après l'équation (12), on a
en posant
f (^) g'ii) h'{è) k'ix)
f"(v) g" in) h"(r)) k"{r,) P Q R s
r"(^)-f"iri)^ ç^^9"&-9"iri)
Remarquons d'abord que , à cause de
Cl = («,<), ni = iy,z), S = (x,y), on aura évidemment
Par conséquent, dans le cas où l'on aura
F liniT-^^— = 0, t — X
la formule (13) permettra d'en conclure
lim A = 0.
F Examinons maintenant l'expression donnée par la formule (14)
t OC
La valeur de P peut s'écrire
P = [L-l] f"iO-f"(a) /'?-a\ f"(rù-f"(a) \t — x) C — a \t — x) f] — a
D'après notre supposition , a n'est pas à l'extérieur de l'intervalle {x, <), C et »? sont à l'intérieur de cet intervalle. Par conséquent les va-
leurs absolues de
-- et 7 sont iniéneures a 1 unité.
D'autre part , d'après notre hypothèse ,
no -fia) f"{n)-f"(a)
fj — a
tendent vers une même limite /'" (a).
Par conséquent, lorsque f"'{a) = 0, on aura certainement
limP = 0,
et même, lorsque f" {a) n'est pas nulle, P restera toujours fini.
Les mêmes conclusions s'appliquent évidemment aux quantités Q, R, S, et, si l'on remarque que les autres éléments du déterminant (14) tendent vers des limites finies, on arrive à cette conclusion:
I Dans le cas particulier où l'on a
la proposition énoncée est certainement exacte , et l'on a dans ce cas
lim A = 0.
Supposons maintenant que l'on ait seulement
mais k'" (a) ^ 0. Les quantités P, Q , R tendront vers zéro , S restera fini. Or le coefiîcient de S, dans le déterminant (14), est
f{x) g{x) h{x) rH) g'iO h'{è) f"{n) 9" M h" {ri)
et les fonctions /"(«), g{u), h{u) étant finies et continues, ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre , ce coefficient tendra vers zéro dans le cas où l'on a
fia)
On en conclut:
