III. Dans le cas particulier
f{x) = l, g{x) = x, h{x) = x^, la proposition énoncée est exacte et l'on a
lim A:
4. Il sera facile maintenant de traiter le cas général. Pour abréger l'écriture, nous désignerons le déterminant D ainsi I f(,x), g{x), h{x), k{x) \ .
Comme nous avons déjà traité le cas
/'" (a) =ff"' (a) = //" (a) = k'" (a) = 0,
nous pourrons supposer que l'un au moins de ces quatre nombres ne soit pas nul , soit
Posons
fi (^) — pTTT^J A (^) = hi (^) ; on aura identiquement
I>= I /i(a;), 9i{x), h^ix), kix) \ , et il est clair qu'on a
f'{' (a) = 0 , g'{' (a) = 0 , h'{' (a) = 0. Par conséquent, dans le cas où le déterminant
A («) 9i (a) h (a) Di= f'i(a) g'iia) h[ (a)
fUa) gUa) h'{(a)
est nul , on su
lira — - = lim A = 0 ,
d'après le lemme II , ce qui est bien conforme avec la proposition générale.
Nous n'avons donc qu'à considérer le cas D^ ^0. Or, dans ce cas, l'un au moins des mineurs de Dj, qui sont les coefficients des éléments de la dernière ligne horizontale , doit être différent de zéro. Supposons que ce soit
f'i (a) g'i (a) qui n'est pas égal à zéro.
Un au moins des éléments f^ (a) , g^ (a) doit être différent de zéro ; supposons que ce soit
qui n'est pas nul.
Calculons encore les constantes
On a maintenant identiquement
+ i /i (^). S'i {oo\ h^ (x) — ^ (a; — a)^ li{x)\,
I /i (a;), p'i (X), (X — af, k(x)\= -^ \ A {x), (x — a), (x — a)", A; (a;) 1
+ I /i (^). 9i (oc) — ^{x — a), (X — af, k {x) \ ,
\fi(x),x — a, (x — af,k{xy\=: r j 1, x — a, {x — a)-, k(x)\
•\-\fiix) — r, X — a, {x — af, k {x) \
et par des substitutions successives
D = T^ -f- r I 1) a; — a, {x — ap, k (x) \
+ y^ I A (^), ffi (^) — Y (« — a), (^ — a)^ A («) i
En divisant par A et en passant à la limite , on trouve directement les limites des rapports des déterminants au second membre par les lemmes II et III. En effet , ayant
! 1, X — a, (x — af, k{x)' = \l, x, 3?, A (a;) | ,
il vient d'abord, d'après III,
lim ! 1, X, x", k{x)\:A = ^^ k"' (a).
Les trois autres rapports sont nuls d'après le lemnie II ; en effet on a
fi{a)-r 0
fi (a) 1 0
ri (a) 9'Aa)-q 0
/î'(a) gUa) 1.2
A(«) S'il») \{a)
= 2(DB-r) = 0,
= 2(Do-gD3) = 0,
= Di — p Dg = 0.
Il vient donc
lim
pqr
ou
f"'(a) g'" (a) h'" (a) kf"(a)
nia) g[(a) h[(a)
A (a) ^1 (a) fil (a) * («)
/^'i (a) ^'i (a) /î'i (a) kf (a)
nia) g'Iia) A'/ (a) A" (a)
Notre proposition est ainsi démontrée dans toute sa généralité.
Il est clair que la condition que a n'est jamais en dehors de l'intervalle ix, t) sera toujours satisfaite si l'on suppose que l'un des nombres X, y, z, t reste constamment égal à a; les autres peuvent alors tendre vers a d'une manière quelconque.
Nous avons considéré des déterminants du quatrième degré, mais il est à peine nécessaire de dire qu'on peut énoncer un théorème analogue dans le cas d'un nombre quelconque n de fonctions n ^ 2.
5. Pour montrer une application , considérons une courbe gauche
<p(t), y> (t) , X (0 étant des fonctions réelles de la variable réelle t.
Soit M un point de la courbe, correspondant à t = /g. Nous adopterons la définition suivante du plan osculateur en M: le plan osculateur en M est la position limite (s'il y en a une) d'un plan passant par M et par deux autres points de la courbe, qui sont infiniment voisins de M.
Les deux autres points correspondant à t = t^ et < = <2. l'équation du plan passant par les trois points est
L^-v(to)'] +
1 v(<o) X(t(,) ' 1 z(<o) <P(io)
1 V(<i) Xih) [X-<p(g]-f j 1 Z(<i) <P{h)
1 v(y ;t(y 1 1 xih) vik)
1 <P(<o) v{«o) + 1 «pCi) v(<i)
Supposons maintenant que les trois fonctions
f, W, X soient finies et continues , ainsi que leurs dérivées
v\ v', x', et enfin que ces dernières fonctions admettent des dérivées , mais pour la valeur particulière t = to seulement. En divisant alors par
et en faisant tendre <i et t^ vers t^, il viendra
tl
v"{to)x"(to) i
V' (<o) X' (g ! r^ ,, ,-, , X' («o) 'P' (to)
x"(to) -^"(g
<p' (to)y' {to) i
9"(to)<P"(io) Par conséquent , si cette équation représente un plan déterminé ,
c'est à- dire si les coefficients de X, Y, Z ne s'évanouissent pas à la fois, ce plan sera d'après notre définition, le plan osculateur en M. Et l'on voit que l'existence de ce plan suppose seulement que
<P'{to + h)-cp'(t,) y^'{t, + h)-w'{t,) j^'(t^ + h)-x'(to) h ' h ' h
tendent vers des limites déterminées pour h = 0.
C'est là un fait analogue à ce qui se présente dans la théorie des courbes planes, lorsqu'on définit la tangente en un point M comme limite d'une sécante passant par M, et par un second point de la courbe infiniment voisin de M. Alors , si l'équation de la courbe est
l'existence d'une tangente en M [a, b) suppose seulement que
a une limite déterminée , mais la fonction f{x) peut très bien ne pas admettre une dérivée pour d'autres valeurs de la variable.
Il est clair que la proposition que nous avons établie permet d'énoncer des propriétés analogues relatives à l'existence du cercle osculateur, de la sphère osculatrice , etc.
(Nouv, ann. math., Paris, sér. 3, 7, 1888, 161 — 171.)
Note sur l'intégrale / f{x)(j(x)dx.
L'objet de cette Note est la démonstration de la proposition suivante:
Soit f{x) une fonction non décroissante entre les limites a; = a et
a; = 6 (a < 6). Alors il est toujours possible de déterminer n constantes
a < a;i < .To < . . . < a;„i < Om < 6, et « + 1 constantes Oj , a,, . . ., a„-|.i qui sont comprises respectivement dans les w + 1 intervalles formés par les w -j- 2 quantités
fia), f{x^), fix^), ..., f{xn-\), f(x„), f{b), de telle façon qu'on ait
rb
/ f{x)(}2n{x)dX
= ai GonÇx) dx -\-a2 G2n{x)dx
a xi
fX%
-j-a-à G2n{x)dx-\- . . .
rXn rb
-\-an\ Q2n{x)dx-j-a„+i Q2n{x)dx.
Xn—l Xu
G2n{x) étant un polynôme quelconque en x du degré 2n au plus.
1. La détermination des constantes Xk, Uk est évidemment un problème déterminé car les conditions imposées fournissent 2n-{-l relations entre ces inconnues. Pour les écrire, nous pouvons prendre
en faisant
Il vient ainsi
{{k-\-l)( {x — aYf{x)dx
(1)...; =-{a,-a,){x,-aY^^ J (A = 0, 1, 2, .., 2n).
Remplaçons dans cette relation k par A + 1 et retranchons les deux équations, après avoir multiplié la première par b — a; on aura
/" [(6 — a) (A + 1) — {k ■\-2){x — aj] {x — aff{x) dx |
= -{a,-a,){h-x,){x,-af+- \^j,^q^^^2, . . .,2n-l).
— (og — ag) (6 — «s) (^2 — a)*"*"^
Pour simplifier, nous posons
(3) (afc+i — au) (b — Xk) {Xk — a) = kk {k=\,2, . . ., n).
et nous remarquons que
j\jp — a) (/c + 1) — (A + 2) {x — a)] (x — aff{x) dx
= {b — x){x — aY+^f{x)—({b — x) {x — aY+^f {x) dx. Les relations (2) peuvent donc s'écrire
i\b — x){x — aY + ^f'{x)dx
= Al (Xi — a)* + A2 (xo — a)* + . . . + A„ (»„ — a)''" J
et il est clair par là qu'on aura
j {b — x)(x — a)f'{x)Q2n-i{x)dx
= AiG2n-l(aà) + A2G2n-l(iC2) + . • •+ A„G2n-l (a^n) >
G2n-i (a;) étant un polynôme quelconque en x du degré 2m — 1 au plus.
On reconnaît maintenant que la détermination de rcj , Xq, . ■ -, x„, Aj , Ag, . . ., A„ revient à la solution d'un problème bien connu. On sait que Xi, x^, . . ., Xn sont les racines de l'équation
(6) P„(x) = a;« + Cia;"-i + ... = 0,
P„ (x) étant le dénominateur du degré n d'une des réduites de la fraction continue
Ces racines sont réelles, inégales et comprises dans l'intervalle (a, 6), et nous pouvons supposer
a < a^i < a;2 < . . . < Xn < 6.
On connaît aussi l'expression des constantes Ai qui sont positives. En posant
Q„(a;) = Aft-g) (z-a)r (g) ^"^^^ ~ ^"^''^ dz, J X — z
5JL est une des réduites de la fraction continue , et l'on a
On peut encore se servir de la formule suivante qui n'exige pas la connaissance du numérateur Q„(a),
(7) A,= AJ^-;-^;-^ \k=l,2,...,n).
Les constantes 4, «& qui figurent dans la fraction continue et les polynômes P* {x) se calculent de proche en proche par les relations
Po=l,
r J = iC Xq , '
(8) { P2 = (a;-ai)Pi — Al,
Pk + i = (X— a')Pfc — 4Pfc-i;
io= (b — z){z — a)f'{z)dz
j\b — z)(z- a) r (z) [Pa {.z)J d z h=^-^ (À=l,2,3,...).
y*(6 — z){z- a) /' (3) z [Pfc {z)J d
f (b — z)(z — a) riz) lPk{z)J dz
