Il reste à trouver les inconnues «i, «o, . . . , On+i
On connaît d'abord , par les relations (3), les différences
(11) .... ak + i — ak = zT -vr- -T (A= 1,2, ...,«).
(0 — Xk) (Xi — a)
Pour achever la détermination des a*, il faut recourir à l'une des équations (1). En choisissant, pour plus de simplicité, la première (A^O), on a
(12) . ffix)dx=(b-a)an+r-^^-^-...-^
Cette équation fera connaître Un + i, et l'on trouve ensuite tous les Uk à l'aide de (11).
Des combinaisons et réductions faciles fournissent, du reste, les formules suivantes :
r(6-a)[ai-/'(a)]
(13) I =/-V^)^'(^)da; ^ ^-... ^,
J 'I y. ' x^ — a X2 — a scn — a
(6 — o)[aA+i— /"(rci)] =^ — Ç''{x — a)f'(x)dx-\-
+ / (b — x)f'(x)dx-
Afc^-i Afc + 2 A„
Clk-^-l — et ak-\-2 — et Xn — a
(15) =f {x — a)f'(x)dx —
l (b — à) Ifixk) — aie'] = / {x — a)f{x)dx
• .Ti b — X2
b — Xk~i > (At= 1, 2, . .., n).
— I {b — x)f'{x)dx + 1 Afc , Afc + i . . An
a;* — a ' a^t-i-i — a ■" ' ' ' "*" ic„ — a
3. Le problème proposé est ainsi résolu complètement; il nous reste seulement à démontrer que les constantes a^, a.^, .. ., «n + i sont comprises respectivement dans les intervalles formés par
fia), f{x,),nx2), ..., f{Xn), nb).
Remarquons d'abord qu'on a évidemment (11)
Oj < «2 < «3 < • • • < «n < «n + l.
Ensuite nous observons que l'équation qui nous a servi de point de départ peut s'écrire
rb rb
j f(x)G2n(.x)dx= <p{x)G2nix)dx,
en désignant par 9?(a;) une fonction discontinue, non décroissante, définie de la manière suivante :
qp (x) = ai pour a < a; < a?! ,
<p(x) = a„-t.i „ Xn<x<b,
On a , par conséquent ,
( \f{x) — (p{x)']x^dx = 0 {k — 0, 1, 2, ..., 2w).
On en conclut que la différence
f{x) — <p{x) doit changer de signe au moins 2w+ 1 fois dans l'intervalle (a, b).
En effet, si l'on suppose que le nombre l des changements de signe soit inférieur à 2w + 1» donc
et que ces changements de signe se produisent pour
ce — -A-^ y X -A-2 » • • • 1 ^ — -A. l y t
il est clair qu'en posant
G{x) = {x — X,)ix-X.)...ix — Xi), la fonction
[nx)-cp{x)liG(x) aurait un signe constant dans l'intervalle (a, b). Or, G (x) étant un polynôme de degré 2m au plus, on doit avoir
l\f{x)-q,{x)-]Q{x)clX = 0,
ce qui est impossible. La supposition l ■^ 2n est donc inadmissible et
f{x) — <pix) doit changer de signe au moins 2n + 1 fois dans l'intervalle (a, 6). Or, si l'on construit les lignes
et qu'on se rappelle que f{x) est non décroissant, on voit immédiatement que l ne peut pas être supérieur à 2n -f- 1; ensuite, il est clair qu'on a nécessairement
f{aX(p{a),
(18) . . . l(p(0Ck — e)<f(xic)<<p{Xk-\-e) {k=l,2, ...,n),
! . VibXrib),
e étant une quantité positive suffisamment petite. Or ces inégalités expriment précisément la propriété qu'il s'agissait de démontrer.
4. D'après ce qu'on vient de voir, les premiers membres des formules (13, (14), (15) et (16) sont positifs. On peut démontrer aussi directement II 9
que les seconds membres sont positifs. C'est là une conséquence immédiate des inégalités
/ (X — a)f'(x)dx
Aj 1^ A2 I I A-ie — l
b — rci 6 — X2 (x — a)f'(x)dx
b — Xk-
b — flji b — X2
b — Xk
/ {b — x)f'(x)dx
<r- -^^ 4. Afc+i , | A„ i Xk — a Xk+i — a Xn — a '
/ {b — x)f'{x)dx
Ljfc-f-l I Afc + 2 I . An
ik = 0,l,2,...,n).
Xk + i — a Xk+2 — a • • Xn — a
(On doit prendre XQ = a, x„ + \^b dans ces formules). On peut les établir de la manière suivante. Soit
(x) = j (x — a)f'(x)dx,
m(x) sera une fonction non décroissante et m{a) = 0. Définissons ensuite une seconde fonction di.scontinue et non décroissante , ainsi qu'il suit
' b — Xi'b — X2
lorsque a < a; < iCi ,
)) a^M 1 <^ aj <^ iCn , )) ^n "^^ X "C^ 0.
Note sttR UNE intégrale. l8l
Par une intégration par parties , on trouve
I / (6 — xYm{x)dx
et , d'après la définition même de la fonction yu {x) , on trouve
l { {b — xY fi{x)dx
I = Al [Al (6 - a:i)* + Ao (6 - a;,)* -|- . . . + A„ (6 - x„)*].
En faisant attention à la formule (4), on en conclut
J [m{x) — M{x)']{b — x)''dx = 0 (A; = 0, I, 2, . . ., 2w — 1);
d'où il suit que la différence
m (x) — n [x) doit changer de signe au moins 2n fois dans l'intervalle (a, b). Mais, d'après la nature de la fonction /<(.r), on voit facilement que le nombre des changements de signe doit être exactement égal à 2n et qu'on a, en outre,
fi[xk — E)<im{Xh)<n(Xk-\-E) (A; = 1, 2, ..., w),
ti (b) < m (b).
Or ce sont là précisément les inégalités (19).
Pour démontrer les inégalités (20) , nous posons
(25) n{x)=j {b — x)f'{x)dx
et
/ V (x) = * 1 1- • • . -1 ^ lorsque a <Cx <Coc^,
' ' rci — a ' a;2 — a Xn — n ^ ^ i '
V (x) = ^ f- • • • H "^-^ 7! rc, < a; < X, ,
Xo — a' ' Xn — a " 1^^..»
CCfi Cl
V {x) = 0 „ Xn 'C X <. b.
Les deux fonctions sont non croissantes et
Ensuite on trouve facilement
et
/ {X — a)''n{x)dx
1 rb
/ (x — a)''v{x)dx (28) [ " ^
= ^-xi ["^1 (^1 — a)* + A-a («a — a)* + . . . + A„ (x„ — a)* .
On voit par là qu'on a
I [n {X) — V (x)];{x — a)'' dx = 0 (A; = 0, 1, 2, .. ., 2n— 1);
d'où il suit que la différence
doit changer de signe au moins 2n fois dans l'intervalle (a, b). Mais, comme tout à l'heure, il est facile de voir que le nombre des changements de signe doit être exactement égal à 2n, et qu'on a nécessairement
viXk + e)<:n{Xk)<v(Xk — e) {k= l , 2, . . ., n ,
ce qui équivaut aux inégalités (20).
(Bul. Sci. math., Paris, sér. 2, 12, 1888, 222—227.)
Sur l'équation d'Euler.
