C3 — SO — T

le premier membre de (A) devient un carré , et la relation entre x ety devient de la forme

p-\-qx

iJ + ? (a; + y) + ^ a; 2/ = 0 ou

q -\-rx

SUR L EQUATION D EULER.

On obtient ainsi les trois substitutions linéaires qui changent en elle-même la différentielle elliptique. Ces substitutions linéaires peuvent s'écrire, par exemple,

Oj — 2C

Si l'on pose ici x = y, le premier membre devient un polynôme du second degré en x qui ne diffère que par un facteur constant de |/H-|-CX,

H = (ao «2 — «i) ^ + • • • étant le hessien de

X = aoX* + 4aia;^ +

L'on voit que, réciproquement, si l'on connaît un polynôme

ax^-{-2fix-\-y proportionnel à KH + CX,

axy -\- fi (x -]- y) -\- y ^= 0 sera l'une des substitutions linéaires qui chan-

(Il or gent en elle-même la différentielle elliptique w=^'

(Paris, C.-R. Acad. Sci. , 107, 1888, 651 — 653.)

Sur la réduction de la différentielle elliptique à la forme normale.

(Note, présentée par M. Darboux.)

1. On effectue ordinairement la réduction de la différentielle dx

à la forme normale

X = ofo 3?* + 4 (Tj a^ -|- 6 a, x^ + 4 Og a; 4" *4 j dy

Vly^ — Sy — T

(où S et T sont les invariants de X) , soit en établissant entre xety une

équation doublement quadratique, soit à l'aide d'une substitution liné-

gy + zg

aire a;:= r~x

yy -\-d

On peut présenter cette réduction sous la forme suivante:

L'intégrale générale de l'équation différentielle dx

■ Kx

-Sy-

est

— xy

c étant la constante arbitraire.