En introduisant dans la différentielle elliptique
dx
une nouvelle variable y par la substitution linéaire
yy-\-d on obtient un résultat de cette forme
dx dy
Vx~'^ vy'
X =:aoX* + * «1^ + 6^2^^ + 4 «30; + «4. Y =60 y' + ib,y^ + 6622/2 + 46^2/ + i'i- Cette transformation a été déjà traitée maintes fois : cependant il nous a paru qu'on ne l'avait pas encore envisagée sous un certain point de vue qui ne semble pas sans intérêt.
Nous préférons écrire la relation entre x et y sous la forme
P + qx-}-ry + sxy = 0, et il sera quelquefois plus commode d'écrire X et Y sous forme homogène
Xr=aQX* 4- éflior^o;' -{-Ga^x^x'^ + ia^^xx'^ + a^a;'*, Y =boy' +ib,y^y' +6b^y^y"- + ia^yy'^ +b,y'K
et nous emploierons sans distinction ces formes non homogènes ou homogènes: il faudra toujours supposer dans ces dernières x' ^=y' =■ 1.
2. Voici deux remarques qui se présentent immédiatement. On constate d'abord que, si l'on considère les invariants de X
T ^ a^a^a^ -\-2a■^a2a^ — a\ — aoa| — a\a^,
et les invariants correspondants S', T' de Y, on a
C'est là une conséquence immédiate de la propriété caractéristique des invariants. En effet, la valeur de Y se déduit de celle de X en remplaçant
X par ny-\-py',
y par 7y + ày',
et en divisant ensuite par (aô — ^yf.
Ainsi l'on a
En second lieu , considérons les racines des équations X = 0, Y =: 0. En les désignant par x-^, a;,, %, x^ et y^, y„, y.^, y^ respectivement, il est clair que
P + qXi-\-ryi-{-sXiyi = 0 (i=l,2,3,4),
et par conséquent le rapport anharmonique des racines de X = 0 est égal au rapport anharmonique des racines correspondantes de Y = 0. Si nous désignons , pour abréger , un tel rapport
bo
on a
Ces six valeurs du rapport anharmonique sont différentes en général ; il n'y a exception que dans les cas suivants. A. A = — 1 (ou =: 2 , ou ^ ^) ; alors
B, X^l -\- e (ou =l-\- s^), e étant une racine cubique imaginaire de l'unité
Il faudrait ajouter le cas >l = 0, 1, », mais ce cas ne peut se présenter que lorsque les racines de l'équation X = 0 ne sont pas toutes distinctes et nous en ferons abstraction. Dans ces cas exceptionnels le rapport anharmonique peut même devenir tout à fait indéterminé, par exemple , lorsque x^ = x.^ = x^.
3. Nous posons maintenant la question suivante: étant donnés deux polynômes du quatrième degré X, Y, quelles sont les conditions né-
cessaires et sufïisantes pour qu'il soit possible de satisfaire à l'équation différentielle
dx , dy
KX "- K Y ' par une relation de la forme
p -\- qx-\-ry -\- sxy ^0.
La réponse est presque immédiate. D'après ce qui précède, il est nécessaire certainement que les invariants de X soient égaux aux invariants de Y, mais il est facile à voir que cette condition est aussi suffisante.
En effet , on peut remarquer d'abord que cette égalité des invariants entraîne aussi l'égalité des rapports anharmoniques des racines de X = 0 et des racines de Y := 0.
Ce fait bien connu , nous allons le déduire ici des formules qui donnent la résolution de l'équation X = 0, dont nous aurons besoin encore dans la suite.
On a d'abord à calculer les racines u', u", u'" de l'équation cubique
(1) 4uS — Sm — T = 0.
Ensuite on a à calculer les racines carrées
m' ■=fa\ — a^a^ — «o"'»
(2) I m" = /af — 0002 — ;aoM" »
m'" = )/of — 00O2 — «om"'; mais, à cause de la relation
(3) . . . . »n'm"w'" = — |(2o? — 3oroai02 + Ooa3).
on voit qu'on peut exprimer par exemple m'" rationnellement au moyen de m' et m" .
Les racines de X = 0 sont alors données par les formules
... |ûroiC2 = — Oi + m' — m" — wî'",
ao^s^ — Oj — m' ■\-m"— m'" , 000:4 = — «1 — m' — m" + »w"'.
Ces formules conduisent directement à cette conséquence que les rapports Enharmoniques de x^, x^, 0%, x^ s'expriment rationnellement par les racines u', u", u'". En effet, on trouve, par exemple
ou bien
Or, comme l'équation Y = 0 donne lieu à la même équation résolvante en u, on voit bien que l'égalité des invariants entraîne l'égalité des rapports anharmoniques.
Ce point étant établi , supposons
«i — a^3. ai — a;4 yi — 3/3.2/1 — 2/4^
^ — ^3 •'^ — •''4 y 2 — 3/3 î/2 Vi
et supposons qu'on détermine les coefficients p, q, r, s dans la relation
(6) p -\-qx-\-ry -\-sxy = Q,
par la condition que , pour
JO ^^— Jj-
yù -^— *Di
y = yu 2/ = 2/2»
y = ya,
on aura aussi nécessairement , pour x=:x^, y =:yi.
La substitution (6) donnera alors nécessairement un résultat de cette forme
dx dy
où c est une constante. Mais maintenant les invariants de cY doivent encore être égaux à ceux de X ou de Y, ce qui donne
d'où l'on conclut c:= 4" !•
Nous venons de déterminer les coefficients p, q,r, s (ou plutôt leurs rapports) par la condition de la correspondance des valeurs suivantes de a; et de y:
... 1 a; = flq , a;2 , X3 , 3^4 ,
'2/=«/i. ^2. ^8. 3/4, mais , à cause de
il est clair qu'on aurait pu établir les correspondances suivantes :
ly = y2, Vu Viy 3/3;
/TTT\ j a; = a^ , x^, x^, x^,
\y = y3> Vi, î/i. 2/2; y = yi, 3/3. ^2. !/i-
Nous obtenons donc le résultat suivant:
Pour qu'il soit possible de satisfaire à l'équation différentielle
dx dy
VX~ Vf
par une relation de la forme
P + qx + ry-{-sxy = 0,
il faut et il suffit que les invariants de X soient égaux aux invariants de Y; et, si cette condition est remplie, il existe toujours quatre relations de cette forme qui satisfont à l'équation différentielle.
On peut nommer ces relations des intégrales linéaires de l'équation différentielle, et notre but principal sera maintenant d'approfondir au point de vue algébrique la détermination de ces intégrales linéaires.
Il faut remarquer, en effet, que, d'après ce qui précède, on peut bien écrire directement ces intégrales linéaires, mais à condition d'avoir résolu d'abord les équations X ^ 0 et Y := 0. Les opérations non rationnelles nécessaires pour cela sont d'abord la détermination des trois racines u', u", ti'" de l'équation cubique en m, et ensuite on a à calculer encore quatre racines carrées.
Mais, comme on vient de reconnaître que le problème admet toujours quatre solutions , la solution doit dépendre d'une seule équation du quatrième degré, et ainsi il doit être possible d'obtenir rationnellement ces intégrales linéaires après avoir calculé les racines d'une équation cubique et deux racines carrées.
Ainsi , au point de vue algébrique , la méthode qui consiste à passer par les racines de X:=0, Y = 0 n'a pas toute la simplicité possible.
Mais , avant d'aborder le problème que nous venons de poser , il convient de compléter encore par quelques remarques ces considérations préliminaires.
4. Nous avons vu que les rapports anharmoniques des x^, x^, x^, x^ s'expriment rationnellement au moyen des racines u', m", u'". Or , dans les formules (4), les racines carrées doivent satisfaire à la relation (3) et par conséquent il est permis de changer à la fois le signe de deux de ces racines carrées. Il est clair qu'un tel changement de signes revient à une certaine permutation des racines x-^, x^, x^, x^ et l'on conclut maintenant que ces permutations sont précisément celles qui laissent invariable le rapport anharmonique.
Il est facile de trouver directement l'équation du sixième degré qui détermine les rapports anharmoniques. Les coefficients de cette équation sont évidemment des fonctions symétriques de m', m", u'" et s'expriment ainsi rationnellement par S et T.
Les équations (5) donnent facilement
3m' =(m' — m")(14-A), 3m" =(m' — m")(— 2 4-A), 3m'"=(m' — m")(+ 1 — 2 A), et , en substituant ces expressions dans les relations
T= 4m' «"m"', il vient
27T = 4 (m' — u"f (1 -f A) (— 2 -f A) (1 — 2 A); donc «^ §-'-108 (1-A + A^)B
On vérifie directement que le second membre ne change pas en remplaçant A par -j ou par 1 — L
La résolution de cette équation du sixième degré, nous le savons, ne renferme pas de plus grandes difficultés que la résolution d'une équation cubique. En effet , ses racines s'expriment rationnellement au moyen de u', u", u'"; mais, comme l'équation (8) ne renferme que le
seul paramètre -2 ^lui est un invariant absolu , il vaut mieux introduire
aussi dans l'équation cubique ce seul paramètre. Soit donc S m = T î; : il vient
et , en désignant par v', v", v'" les racines , on a
Lorsque l'équation X = 0 admet une racine double, les valeurs du rapport anharmonique sont
et ainsi l'équation (8) doit se réduire à
On voit que cela exige que S^ — 27T2 = 0, et l'on sait en effet que le discriminant de X est égal à 256 (S^ — 27 T2). Comme conséquence , on peut écrire, au lieu de (8),
4(1 —A 4-^2)3 (1-|-A)2(2 — A)2(l — 2A)2 27^2 (A— If ga — 27T2 ~ S» — 27T2 '
5. Considérons maintenant les cas particuliers que nous avons déjà énumérés dans le n". 2.
A. >l = — 1 (ou =2, ou =1):
Dans ce cas on a A = y II semble donc que, pour transformer au
d OC dti
moyen d'une substitution linéaire j^-r en ± w^, on puisse employer
non seulement les correspondances (I), (II), (III), (IV) du n" 3, mais encore les suivantes :
\y=yi, y^, y^, y^;.
h=y2, yi, yn» yi>
