III

'y =i/3. ^4. ^2. yi'>

,|^,, (3î = Xi, a;2> ■^> ^4)

■■■'*■.■ \y=yi, «3, yi, .Vg.

Faut-il en conclure que dans ce cas exceptionnel il existe huit sub-

.... . , dx dy , ., ,

stitutions Iméaires qui transforment j^=:r en ± . .— ? 11 n en est rien

En effet , l'équation (8) montre qu'on a dans le cas actuel T = 0. Mais alors les relations (7) se réduisent à

et l'on peut en conclure seulement c= ± 1.

Donc, dans le cas T = 0, il n'existe pas seulement quatre intégrales linéaires de l'équation différentielle

dx dy

KX " K Y '

mais il y en a autant qui donnent

dx dy

Les unes seront données par les correspondances (I), (II), (IH), (IV) et les autres par les correspondances (I'), (II'), (HT), (IV').

Le second cas :

B. A = 1 -j- e (ou =1 -\- E^), donne lieu à des remarques analogues. L'équation (8) montre que S^O, et les relations (7) se réduisent à

d'où l'on peut conclure seulement c=l,c = £, c = «^

une

des

trois

équations

vy'

dy VbY

KX V^Y

admettra quatre intégrales linéaires. Les unes sont déterminées par les correspondances (I) , (II) , (III) , (IV) et les autres par celles-ci

y=yi, vz, Vi, y2\ 1 '.y = yi. y*, y2, yaî

X'^Xi, x^, x^^ x^, \^X'^Xi,X2,x^,x^,

y=y2> y^y y?^> Vu Hy =^2. ys. .vi, y*;

X ^^ Xi, X2, X^f X^, j ( •'' ^—- •''Il ^ > -^îi) -^i)

y=ys, Vi, y2y Vi'y jh=ys, y2y y*, yi> •

\ X — X^ f Xo j Xq f X^ f I I X ^— X-^ j Xo t ^3 ) ^4 f

\y = yi, y2, yi- y.s; ' ly=y4, Vi, Vh, y2-

6. Comme application des considérations précédentes, considérons la réduction à la forme normale

dx Mdy

VX ~l/(l— y2)(i A2y2)

M étant une constante. Le rapport anharmonique de -|- 1 . — 1 > + "ï '

— -T- étant (■ 1 .] , il faudra déterminer k par la relation

On trouve ainsi deux valeurs réciproques de A; à chacune d'elles

correspondent quatre substitutions linéaires, et, si l'on se souvient

que X a six valeurs, il semble qu'on obtient ainsi 48 substitutions

dx linéaires qui réduisent à la forme normale la différentielle w=^- Mais

il faut remarquer que le changement de A en y correspond au change-

ment de A; en — k; par suite, le nombre des substitutions linéaires se réduit à vingt-quatre , et le nombre des valeurs de k^ est six , qui sont réciproques deux à deux. Si ± A; est l'une des valeurs du module, les autres sont égales à

1 /i|.KÂ\' /i ï/âV /l+tK^i'' /l-iKF'

Les racines de Y = 0 sont 1, p, 0, oo. Leur rapport anharmonique

A' -^\l-KÂ/' ^\l+l/Â/' ^\\-iVkj' -\i^iVk}

Une autre méthode, plus simple à beaucoup d'égards, consiste à poser d'abord

dx Mdy

est Af et l'on a ainsi

On voit qu'ici la signification de k\ est beaucoup plus simple que dans le premier cas. On trouve encore six valeurs de k\ et vingt-quatre substitutions linéaires. En posant y = z^, on est ramené à la forme canonique ordinaire. Mais il faut remarquer que , si les coefficients de X sont réels et qu'on veuille avoir une valeur de k\ qui soit réelle et comprise entre 0 et 1 , cette seconde méthode n'est applicable que dans le cas où les racines de X = 0 sont réelles. Mais il n'entre pas dans nos intentions de discuter ces substitutions en ayant égard aux limites entre lesquelles a; et y sont variables ; c'est une discussion qu'on trouve dans les Traités des fonctions elliptiques. Constatons seulement , en terminant ces considérations préliminaires, que les intégrales linéaires de d^ dy

VJ\^a?)(\—k^oc^) 1/(1 — y2){l— A2y2)

sont

x — y = 0, a; + y = 0, 1 — A;a;y=0, \-{-kxy = Q.

DÉTERMINATION DES INTÉGRALES LINÉAIRES DE l'ÉQUATION r7= = ± rT^"

Kx Ky

7. La méthode la plus directe pour résoudre le problème proposé consisterait à effectuer la substitution

P + qx + ry-^sxy — Q

p + ry

Q+sy On trouve ainsi par identification

{p8 — qrfbo = r*aQ — ir^sa^ -}- 6r^^a2 — 4rà^ag4- s'' «4, {ps — qrfbi = r^paQ — r^(Sps -\- qr)ai-{-3rs(ps -\- qr)a2 —

— s^{ps-\-3qr)as-j-s^qa^,

{ps — qrfb2 = r^p^aQ — 2rp{p8-{-qr)a-y -\- (p^ s^ -\- q^ s^ -\- ipqr s)a2 —

— 2qs{ps-\-qr)as + q^s'^ai, (ps — qrfbs = rp^ao—p^{ps + Sqr)ai-j-3pq{ps + qr)a2 —

— q^ (Sps + qr)as-\- gr^soi,

(ps — qrfb^ = p*ao — ifqai + 6p^q^a2 — 4:pç^as + q^ai.

Ces cinq relations , à cause de l'égalité des invariants de X et de Y, se réduisent à trois relations distinctes seulement , et le problème qui consiste à déterminer les rapports des quantités p, q, r, s est déterminé.

Mais c'est une voie bien différente qui nous conduira à la solution du problème.

8. Nous aurons à nous appuyer dans ce qui suit sur certains résultats de la théorie algébrique des formes biquadratiques , pour lesquels nous renvoyons le lecteur aux Mémoires classiques de M. Hermite : Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminés , dans le tome 52 du Journal de Crelle.

Désignons par H.x 1« hessien de X

d^X dx iix'

da;'2

dx' i*X Ha! = (0(,a2 — c^) xl^ -\- 2 (Oods — a^a2)3i^-\-

4-(flo«4+ 2ffiag — 3al)a?-\- 2(010^ — Og «3) * + (^'^s ^4 —"I)» et par J« le covariant du sixième degré qui est le jacobien de X et de H»

ôx ;ôx

hx èx' 8 dH:c àHx

Jx =

Ja: = (0o03

dx dx'

Les covariants sont liés par la relation

d'où M. Hermite a tiré cette conséquence importante , qu'en posant

il vient

2dx ±du

VX K4m3 — Sm-T Désignons maintenant par Hy, Jy les covariants de Y; en posant

il viendra de la même manière

2dy ± dv

Il est évident par là que la relation u^v, c'est-à-dire

XHy — YH, = 0, satisfait à l'équation différentielle

dx dy