Il faut donc étudier cette décomposition de

jL iiy — Y Hi.

Rappelons d'abord les relations identiques

4H-^ — SH;eX2 + TX3 = — J|, 4 H^ - S Hj, Y2 + T Y3 = — J2.

En désignant par u', u", u'" les racines de l'équation

4M» — Sm — T = 0, on voit par là qu'on a ,

4 (Hx + m' X) (Hx + m" X) (Hx + m"' X) = — J2. 4 (H, + tt' Y) (Hy + U" Y) (H„ + u'" Y) = - i\.

Or, Hx et X n'ayant pas de facteur commun en général , les facteurs Hx 4" m'X, Hy -f" m' Y) • • • sont nécessairement des carrés parfaits (Hermite, loc. cit., p. 15, 16). Posons donc

iHx 4" w' X = çjx , .

Hx + u"X = <pr, TT I . '" V '"2 .

Hx + M X = 95x ;

(H,+M"'Y=<pr.

9'x, qfx , ¥x seront des polynômes du second degré.

Nous cherchons à résoudre l'équation XHj, — YHa; = 0 par rapport à te en y regardant y comme connu. On a donc

X Hx H^ + M^X Hx + m"X Hx + m^"X 3 Y "" Hv ~ Hv + u' Y ~ Hj, + m" Y ~ Hy + u"' Y ~ " '

et , par conséquent ,

Icp'x =Mç)y ,

Si nous ajoutons ces équations après les avoir multipliées respectivement par («" — tt'") tp'y, (u'" — m') (py, (m' — M") C'y', il vient , eu égard aux formules (10),

C'est là une équation du second degré qui doit admettre au moins une racine de XHy — YHx = 0; mais on constate que cette équation du second degré a ses deux racines égales. En effet, la différentielle

(m" — m'") q'ydcp'x + («'" — m') (py d q-'x + (w' — w")g?y" d (p'x se trouve égale à

^ [(u" - tt'") <p'xdq>'x + (m'" — M') ç'i' d <pi -f (tt' - tt") fp'H d <p'i'-\

ou à

2"^ [("" — «'") <^ (H:c + M' X) + (tt'" — M') d (Hx +M" X) + (m' — M")d (Hx -{- M"'X)]

et s'annule par conséquent.

Nous obtenons donc ce résultat, qui donne la solution du problème proposé :

L'expression

(m" — tt'") 9^i <p'y + {u'" — tt') q>'i q>'i + (tt' — M") 9>i" ç>^"

est, sauf un facteur constant, le carré d'un des facteurs de XH^ — YHx. Sous une forme légèrement modifiée , nous pouvons dire qu'on a d'abord à calculer les fonctions rp', y", y>"' par les relations

y" =(Hx + M' X)(H, + M' Y), ^"2 = (H, + u" X) (H, + u" Y), rp"'^= (H., + W" X) {Ey + m'" Y);

ensuite on aura les carrés des facteurs linéaires de XH^ — YH^ (sauf des facteurs constants) sous la forme

(A) . . . ± (tt" — u'") yj' ± {u'" — tt') v" ± {W — u") xp'".

160 SUR tJNE TRANSFORMATION LINEAIRE.

Il est clair qu'on obtiendra bien ainsi les quatre facteurs de XHy — YHa: ; car , en changeant à la fois les signes de y)', v", v'"> on obtient la même intégrale linéaire de l'équation différentielle

dx , dy

Quelles sont maintenant les opérations irrationnelles qu'exige cette détermination des intégrales linéaires? D'abord on a à calculer les trois racines de l'équation cubique

4u3 — Sm — T = 0,

et ensuite on voit que la détermination de chacune des fonctions v't v"» v'" exige le calcul d'une racine carrée. Mais il est à noter qu'on peut multiplier l'expression (A) par un facteur constant quelconque. En multipliant donc par une des racines carrées à calculer , on voit que le calcul de deux racines carrées suffit pour obtenir, sous forme explicite , les intégrales linéaires. On peut remarquer que le coefficient de ic*y*, dans l'expression de v''^ est

(OoCa — aî + QqU') (b^ 63 — ^? + ^0 "') . et ainsi les fonctions tp', xp", y sont connues après avoir obtenu les racines carrées

r' =}/(aoa2 — o? + Oou')(6o&2 — &1 + &0W'), r" = |/(ao (h-a\ + a^u") (60 62 — 6? + hu") ,

r"'=^{a,a^-al + aou"'){boh-bl + bou"').

Mais le produit de ces trois racines carrées est égal , au signe près, à

i {alas — Sooa^a^ + 2af) (6^63 — Sbob^b^ + 26?),

et ainsi r'" sera connu dès qu'on connaît r' et r". Toutefois , il peut arriver que le terme avec a^ y* manque dans v''^ v"^ ou v'"^ mais, en tout cas , il est clair , par ce qui précède , que le calcul de deux racines carrées et la connaissance des racines m', m", m'" permettent d'obtenir les intégrales linéaires cherchées. Cette solution jouit donc , au point de vue algébrique , de toute la simplicité compatible avec la nature du problème proposé.

EXAMEN d'un CAS PARTICULIER. ÉQUATION d'eULER.

11. On peut donner une autre forme à la solution du problème et la faire dépendre directement d'une équation du quatrième degré. Mais, pour reconnaître l'intérêt qui s'attache à cette seconde forme , il est utile d'étudier d'abord le cas particulier où l'on a

Oi^bi (t = 0, 1, 2, ..., 4),

en sorte qu'il s'agit de la détermination des intégrales linéaires de l'équation d'Euler

aoa^ + éaia^ + eoarc^ + iagaj-fa^ floy* + 4ffiy^ + 6a2«/^4- *«3y + 04

Il est clair que , dans ce cas particulier , on obtient y>', y>", %p"' sans avoir à extraire aucune racine carrée , et la connaissance de m', m", «"' suffit.

Prenons pour xp\ %p", y " les valeurs

v' = (0002 — «1 + «om' ) a^^y^ + . • • , v" = (floOa — ûi + Oom" )x^f-\-..., V,"'= (0002 - af + aott'") a;2y2 + . . . .

On peut d'abord mettre ces valeurs de %p\ xp", y'" sous une autre forme.

Il est clair que v', par exemple , est symétrique en x et y, et de plus , si l'on pose y = a;, y)' doit se réduire à llx-\-u''X.. Or, si deux polynômes doublement quadratiques et symétriques en a; et i/ coïncident entre eux pour x = y, ils peuvent différer seulement par un terme i.{x — y)2. Il suffit de les écrire explicitement pour reconnaître l'exactitude de cette proposition , qui est due à M. Halphen.

Mais la seconde polaire de Ha;-|-u'X

^ da? '^'^^ àx^x' ~^' iix'^

est d'abord symétrique enajety et se réduit aussi à Ha; + M'X poura;=y. On a, par conséquent,

^ 1 [»(». + »■ XI a (IL + «1X1 + ^KHH; "jxn

12 L àx^ ' " ^xdx ' èx'^ i

Il reste à déterminer A'. Cette détermination pourrait se faire déjà ici en calculant directement le coefficient dexy dans yj': on trouverait ainsi

A4 où l'on a supposé

H^ + m' X = Ao a;* 4- 4 A, ic^ 4- 6 Ag a;2 4. é A3 a; + A^.

Mais il existe une expression beaucoup plus sinfiple pour k' qui s'offrira d'elle-même dans la suite. Nous nous bornerons donc à obseï*ver que A' doit être une fonction rationnelle de m', et peut dès lors se mettre sous la forme d'un polynôme du second degré en m'.

l = 2au'^-\-Pu' -\-y.

Posons , pour abréger ,

en sorte que h et f sont les secondes polaires de Hc et de X , on aura , d'après ce qui précède,

rp' =h + u'f -\-i2au'^ +pu' -\.y){x-yf, y," =h + u"f + (2 a m"2 + ^ xi'> + j') (x - yf, V'"' = A + «'"/■+ (2 a m"'2 -f /S m'" + }-) (a; — y)2.

■ Les carrés des facteurs de X Hy — Y Hx sont , en général ,

La première expression se réduit évidemment à

2 a (m' — m") (m' — «'") (m" - m'") (a; — yf, et donne ainsi la substitution linéaire x — î/ = 0. Cette solution était évidente a priori.

La seconde expression devient égale à

SÛR UNE TRANSFORMATION LINÉAIRE. léÔ

OU bien , en divisant par 2 (m" — m'") ,

y,' — a{u' — u")(ti' — u"'){x — yf, mais on a évidemment

(m' -u")(m' — U"') = ;^(m^— iSM — iT)„ = u' = 3M'2 — JS,

en sorte qu'on obtient

h-{-u'f+{-au'^-{-pu'-\-y + laS){x-yf.

Ici se présente maintenant le moyen de déterminer les valeurs de a, p, y par cette condition que l'expression précédente doit être un carré parfait.