Considérons l'expression

Z = h + u'fJrO{x-y)\ où C est une constante quelconque. On peut écrire

1 à2(Hx + M'X)

12 drc dx

"-"l2 da;'2

et le discriminant A de £ est

(Q Ca;)2-(P4-C)(R + Ca;2),

c'est-à-dire

Or il est clair que

D'autre part , P R — Q'-^ est le hessien de Hx + "'^ ^t l'on sait qu'en général le hessien de a X -|- 6 H^ est égal à

{ia6S + |62T)X4-(a2 — ^62S)Hx

(voir Hermite, loc. cit. , p. 33 — 35); donc

PR — Q2 = (^ Sm' + i T) X + (M'2 — ^\ S) Hx.

Il reste à déterminer A'. Cette détermination pourrait se faire déjà ici en calculant directement le coefficient de a; y dans y'-' on trouverait ainsi

A4 où l'on a supposé

H^ + M ' X = A 0 a;* + 4 A 1 x^ 4- 6 Ag a:2 ^ 4 A 3 a; + A4 .

Mais il existe une expression beaucoup plus sirfiple pour k' qui s'offrira d'elle-même dans la suite. Nous nous bornerons donc à obseï*ver que A' doit être une fonction rationnelle de m', et peut dès lors se mettre sous la forme d'un polynôme du second degré en m'.

Posons , pour abréger ,

en sorte que h et f sont les secondes polaires de H,e et de X , on aura , d'après ce qui précède,

V;' =A + MY+(2aM'2 -\-^u' +y)ix-i,f, y>"=h + u"f + (2 a m"2 + ^ 7*" + ;') (x - «/)2, ,;;'" = ;î -f M" Y+ (2a m"'2 + ;ff u'" + y) (a; — y)2.

"Les carrés des facteurs de X Hi^ — Y Ha; sont , en général ,

| («" M'") Xi,' + (m'' — m') v" + (m' - U") v'",

La première expression se réduit évidemment à

2 a (m' — u") (m' — m'") (m" - m'") {x — y)2, et donne ainsi la substitution linéaire x — 2/ = 0. Cette solution était évidente a priori.

La seconde expression devient égale à

SUR UNE TRANSFORMATION LINÉAIRE. léÔ

OU bien , en divisant par 2 («" — «'"),

,^' — a{u' — u"){u' — u"'){x — yf, mais on a évidemment

en sorte qu'on obtient

Ici se présente maintenant le moyen de déterminer les valeurs de a, p, y par cette condition que l'expression précédente doit être un carré parfait.