Considérons l'expression
Z = h + u'f+Q{x-yf, où C est une constante quelconque. On peut écrire £ = Pt/24-2Qt/ + R + C(x-y)2,
12 da;2 '
^~12 ^x'àx' ' -, 1 à'-'ÇHx + M'X) .
"""l2 da;'2
et le discriminant A de £ est
(Q Qxf — (P -f- C) (R + Ca;2), c'est-à-dire
■ Or il est clair que
P a;2 + 2 Q a; 4- R = Hx 4- m'X.
D'autre part, PR — Q'^ est le hessien de Hx + m'X et l'on sait qu'en général le hessien de a X -f- 6 Hx est égal à
(^ a6S + 1: 62T) X + (a2 - ^ 62S) Hx
(voir Hermite, loc. cit., p. 33 — 85); donc
PR Q2 = (^ Sm' + i T) X + (M'2 ^x^ S) Hx.
Mais Hx + m' X est un carré : donc le hessien ne s'en distingue que par un facteur constant et
P R - Q2 = (w'2 ^g. S) (Hx + M' X). Il vient donc
A = (^ij S — «'2 — C) (Hx + «' X).
On voit par là que l'expression £ n'est un carré parfait que pour la seule valeur
et l'on doit avoir
donc
13. Voici un moyen plus direct pour déterminer i'. Écrivons X' au lieu de C, en sorte que
Mais nous savons que y' := <p'x <p'y '■ donc nécessairement
P4-A' = aç.;, Q — A'a; = M. R + X' x' = yq>':,, d'où
La comparaison des deux valeurs de A donne
^S-u'^-X' = ^-ay; mais on sait que
^^ — ay = - (m' — M") (tt' — u'") = - 3 m'2 + J S 1) ,
ce qui fournit de nouveau la valeur de X'.
') Cette valeur de l'invariant de qp'^ se trouve sous une forme légèrement différente dans le Mémoire de M. Hermite; voir p. 13, la valeur de S et, p. 15, la relation entre <p et v"- (Voir Clebsch, Binare Formen, p. 153.)
14. Voici donc le résultat final auquel nous arrivons: Les intégrales linéaires de l'équation différentielle
sont d'abord x — «/ ^ 0 , et les trois autres s'obtiennent en posant
h + uf-\-{^^-u^){x-yf = 0, où il faut déterminer m par l'équation cubique
4u3 — Sm — T = 0.
Sauf un facteur constant, le premier membre est alors un carré exact, et la relation entre x et «/ se réduit donc à cette forme
P + <l{x + y) + rxy = 0.
On peut envisager ce résultat sous un autre point de vue. Quelle est, en effet, l'intégrale générale de l'équation différentielle (12). Cette intégrale a été obtenue déjà par Lagrange (Oeuvres, t. II, p. 18) ; mais M. Cayley l'a mise sous cette forme élégante i)
(13) ;» + C/-+(tVS-C2)(x-2/)2 = 0,
C étant la constante arbitraire.
Cette expression se déduit de celle que nous venons d'écrire en remplaçant M par C. En général, le premier membre n'est pas un carré parfait : ainsi à une valeur donnée de x répondent deux valeurs de y, l'intégrale n'est pas linéaire. Mais , si l'on pose C ^ m', m", m'", on trouve trois intégrales linéaires ; la quatrième , x — «/ = 0, répond à C = co .
15. En partant de cette intégrale générale, on aurait pu trouver notre détermination des intégrales linéaires d'une manière beaucoup plus simple. En effet , cette intégrale générale peut s'écrire
^2(aa;2 + 2ha; + g)
(U) +2^ (ha;24-2ba;+f)
+ (ga;2 + 2fa; + c) = 0,
*) Voir aussi Laguerre, Bulletin de la Société mathématique de France, t. I, p. 35.
OÙ
a = «0 «2 — af + C flo .
b = ^(Ooa, + 2aia3 — 3a|) + C02 — ^(^ijfS — C2),
c = tta a^ — a| + C a^ ,
f = i («1 «4 — «2 «s) + C Os ,
g = i(ao«4 + 2aia3 — 3fl|) + Ca2 + T^S-C2,
h = ^ (tto fla — Oi ag) + C «!•
C'est une relation doublement quadratique et symétrique en x et y, que l'on peut écrire sous les deux formes
0 = A.: y2 ^ 2 B.,. ?/ + C^ = Aj, a;2 + 2 Bj, a; + Cy.
Euler déjà a observé qu'on en tire
doc? dy^
Bj; — Ax Cx By — Ay Cy
mais, comme notre relation est l'intégrale générale de ~^= y^. o" doit avoir
B|— AxCx = 0X et de même
Bl — AyCy = eY.
C'est ce qu'on vérifie facilement, et la valeur de 0 est
On a les relations identiques
ao0 = h2 — ag, 40i 0 = 4bh — 2af— 2gh, 6 «2 0 = 4b2 — 2hf - ac — g2, 4a3 0 = 4bf— 2ch — 2fg, a^ 0 = f2 — cg; d'où l'on tire facilement cette conclusion que, pour 0^0,
Axî/2 4-2Bxy + Cx
est un carré parfait, et l'intégrale générale se réduit alors à une intégrale linéaire qu'on peut écrire ainsi
f-^g{x-\-y)-\-hxy^O,
16. On a retrouvé ainsi, d'une manière très simple, le résultat de tout à l'heure; mais, si cette méthode est simple, elle est, par contre, moins générale que notre première méthode ; car on ne saurait l'appliquer dans le cas général , l'intégrale générale de
/ , .y. d^ , dy^^ .
n'étant pas connue sous une forme analogue à (13). Cependant il y a un second cas qu'on peut traiter ici en s'appuyant sur une remarque de M. Cayley.
Désignons par SU- le premier membre de la formule (13) et remarquons que 91t est aussi quadratique en C. En considérant C comme variable aussi , on aura
àfHZ bm. ô9ît
^— dx + -3— dy + -T^ rfC = 0 dx ' èy " ' dC
et , d'après ce que nous avons vu ,
Ô9ÎI
Ô9îl
et, comme l'a remarqué M. Cayley,
= ± K40Y, = ± VISX,
de
donc
= + VXY:
, dx^ JLy , dC^ KX K Y 1/40 ■
En considérant donc C comme variable, y comme une constante arbitraire, la relation (13) ou (14) est l'intégrale générale de l'équation différentielle
dx dC
KX 1/4C3 — se — T
et, pour avoir les intégrales linéaires de cette équation, il suffit de résoudre l'équation Y = 0 ou, ce qui est la même chose , l'équation
X ='0. Ce résultat était à prévoir , car la connaissance des racines de X = 0 entraîne celle de l'équation 4 C^ — S C — T = 0. En déterminant y par l'équation Y = 0, 911. deviendra un carré parfait.
17. Revenons maintenant au cas général , la détermination des intégrales de (15). D'après l'examen des cas particuliers que nous venons de faire, il est à prévoir qu'il doit exister une liaison intime entre cette détermination et l'intégration générale de cette équation ; mais on ne connaît pas cette intégrale générale sous une forme analogue à (14) et il nous paraît assez difficile de l'obtenir sous cette forme.
Au contraire , la méthode inverse se présente ici.
Ayant obtenu la détermination des intégrales linéaires, si nous faisons dépendre cette solution directement d'une équation du quatrième degré, n'obtiendrons-nous pas en même temps l'intégrale générale sous une forme analogue à (14)?
C'est là une question qu'il nous reste à traiter.
Il faut le remarquer , on peut faire dépendre la détermination des intégrales linéaires d'une équation biquadratique, mais cela est possible d'une infinité de manières. Parmi les équations biquadratiques desquelles dépend ainsi la solution de notre problème existe-t-il une classe particulièrement simple.
Ce sont là les questions qui se présentent : les diverses équations biquadratiques sont liées par des transformations de Tschirnhausen.
(J. Math.. Paris, sér. 4, 5, 1889, 55—65.)
Sur le développement de l'expression
I R2 — 2 R r [cos u cos u' cos {x — x') -\- sin m sin u' cos {y — y ')] + »'^ I ~ ^ .
1. La théorie du potentiel a été étendue à un nombre quelconque de variables par Green. Dans le cas de quatre variables il faut considérer l'expression
^^^ ■ ■ • "^ ^ (^1 - yif+^ - 2/2)' + (a^a - 3/3)' + (oc^^J^ qui satisfait à l'équation différentielle
à^ T ■ ù^ T à2 T , à^ T ixl^^xl^'èxf^èxl
Posons
\Xi = rco3UGOsx, 2/1 = R cos «' cos iC' ,
2^2 = ?■ cos M sin a; , 2/2 = R cos u' sin x' ,
Xg = r sin u cos y, ^g = R sin u' cos y' ,
l a;4 = r sin M sin 2/ , ^4 = 1^ sin «' sin y' ,
on aura
^' . . i R2 — 2Rrcos9) + r2
où
(5) . . cos 95 = cos M cos w' C08 (x — x') -f- sin u sin u' cos {y — y').
170 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS 95 + '^]~ '•
En développant T suivant les puissances croissantes de r, il vient
T . „ sin (n 4- 1) œ - i . i j , j
Ici Vn = ■■ est un polynôme du degré n en cos (p , dont on
trouve l'expression en écrivant abord
1 'yk ? » (2 R cos y — r)"
R2 — r(2Rco8(p — r)~ 4^ R2«+2
et en cherchant ensuite le coefficient de r",
( y sin(n + l)y ;
I = (2cosç>)» -'^(2co8y)»-2+^'^~^^^^~^^ (2 cos <p)»-* - . . .
" En introduisant ici au lieu de cos (p sa valeur (5) , Vn deviendra un polynôme du degré n en cos (a; — x') et cos (y — y') qu'on pourra développer suivant les cosinus des multiples de x — x' et y — y'. C'est ce développement que nous nous proposons d'obtenir.
2. Cherchons d'abord la transformée de l'équation différentielle (2) après l'introduction des nouvelles variables r, u, x, y. Les relations (3) donnent facilement
daf + da^ + da| + d^ = dr'^ + ''^ ^"^ + ^^ cos^ m dx^ + ^^ sin^ m dî/^
et de là on conclut, d'après un théorème bien connu de Jacobi ,
