t3gijj„eosM^j + ^(r8in«cosM^j

ou bien

Ô2T àT ■ a^T ■

-j- 2 cot 2 M -. n— ï-ô + -T-ir- -j—^ = 0.

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE l'EXPRESSION [B? — 2Rr C08 q> -\- r^']~K 171

En introduisant maintenant au lieu de T le développement (6), on obtient pour Vn la relation

dw^ ' dM '

H 9 N— 9- + -^-o Â-2^ + W (W + 2) Vn = 0.

C'est cette équation différentielle linéaire qui permet d'obtenir facilement le développement cherché de Vn suivant les cosinus des multiples de X — x' et de y — y'.

3. On reconnaît sans peine, par l'inspection des formules (5) et (7), que ce développement se compose d'une série de termes

C cos f (a5 — 35') cos A; («/ — y'),

où i,k sont des entiers tels que n — i — A: est pair et non négatif. Ensuite on voit que le coefficient C est divisible par

(cos M cos m')' (sin m sin u')*

et que le quotient est un polynôme en sin^ m et sin^ m'. Nous posons

(10) . . . Y„=^'^' i'RlkC08i{x — x')cosk{y — y'),

avec cette convention que, lorsque l'un des indices i, k est égal à zéro, il faudra remplacer le coefficient 4 par 2 , et , lorsque t = ft = 0 (ce qui n'arrive que lorsque n est pair), il faudra remplacer 4 par 1.

En introduisant le développement (10) dans l'équation différentielle (9), on obtient pour E^^, l'équation différentielle

(11). --r4^ + 2cot2M-3-^-f «(w + 2)

En posant maintenant

R^j =: 008' M sin* M S"j ,

S"fc sera un polynôme entier en

t = sin^ u

172 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE l'expkession [R" — 2Rr coa (p -\- r^] - K et l'équation (11) nous donne

(12) . <(l<)^ + [^(a+^ + l)0-|f-«/SS::, = O,

On en conclut

Sl, = C§{a,fi,y,sin'u);

a en effet est un nombre entier négatif, en sorte que la série hypergéométrique se réduit à un polynôme.

D'après cela , on doit avoir

R^^ = C cos» u sin* u^{a, fi,y, siii^ u) ,

C étant indépendant de m. Mais il est clair que le coefficient RJ'^^ esi symétrique en m et m'; donc

l R^jk = c"j (cos u cos M')' (sin « sin m')*

X ^{a, p, y, sin2M)§^(a, /S, y, sin^w'), c^if étant un coefficient numérique qu'il reste à déterminer.