Pour cela , posons u = u' ; on aura
cos 9? = (1 — <) cos {x — x')-\-t cos (y — y'),
et , à cause de i-j-A — 2a=:M, le coefficient de <" dans R^^ est
(-iy<*
Mais, d'autre part, d'après la formule (7), le coefficient de t** dans V„ est
2" [cos {y — y') — cos {x — a;')]".
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS ç; + r^] - '. 1 73
En posant donc pour simplifier x' = n, y' = 0, on doit avoir
[ 2« (cos X + cos y)"
COS i X cos k y.
Mais le développement de
2" (cos X + cos ^)" se trouve directement sans difficulté , et le résultat est
i2» (cos a; + cos y)" = W'4 n (w) n (n)
cos i aj cos A: y.
La comparaison de ces formules (15) et (16) donne la valeur cher-
chée de c^^
5. Voici maintenant comment on obtient le développement (16). On a d'abord
2" (cos X -\- cos y)" = ]^ (n)r (2 cos x)**-" (2 cos j/)',
en posant
et comme on a , d'autre part ,
(2 cos a;)" = ^ 2 (w)^^ cos r ç» ,
1V4 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE l'eXPRESSION [R^ — 2 Ë 9 COS 9? -|- ' ^3 ~ ^■
il vient
2" (COS X + COS y)" =^ "S^ ^\ 4 (w)r (W — r)n-r-t (r)r -Je cos î a? COS ft 7/ ,
et , en écrivant
2" (cos a; + cos j/)" = ^ ^ 4 «"^ cos i a; cos A; y,
on aura
«■<!* = X («V (« — r)n-r-i(r)r-fc , r 2 2
OÙ
r=:A, A: + 2, A; + 4, .... n — i. Soit ^ :=m, — 3 — = s; l'expression précédente devient
tn
Mais on voit facilement que
{n)k+2s{n — k — 2s)m-s(k + 2s)s = {n)m{fn)s(n — m)k + s
= {n)m {m)s {n — m)„-m- *-», donc
*"fc = («)»> [Wo (W — Wî)„m~*+ (Wî)] (W — >W)„m-ft-l + • • •]
OU
<\k = in)m{n)n-m-k,
ce qui fournit le développement (16).
On voit que e"^ est le produit de deux coefficients binomiaux, il en est de même de
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS (p -\- > 2]- 1. 176
6. Voici donc le résultat de cette analyse : j R2 — 2 R r [cos m cos m' cos {x — x') -f sin u sin u' cos (y — y')\ + r^ j ~'
V„ = ^ ^ 4 c"fc (cos M cos m')* (sin m sin m')*
X ^(a, ;/?, j-, sin^ M) §^ (a , j8, y , sin^ m') cos i (a; — a;') cos A: (j/ — j/') ,
M. Tisserand a obtenu d'abord , dans le tome LXXXIX des Comptes
rendus des séances de l'Académie des Sciences, ce résultat, qu'en
j ,> . sin(n + l)Œ> posant dans 1 expression — >
cos <p = cos^ M cos a; -j- sin^ m cos y
et en développant suivant les cosinus des multiples de x et de y, le coefficient de cos % x cos k y est égal à
4c^jCOs2<Msin2*M^2(a^^^ ^^ sin^w).
Mais la découverte de ce beau résultat a été extrêmement laborieuse, comme on peut le voir par l'analyse compliquée par laquelle M. Tisserand a démontré son résultat.
En réfléchissant sur cette belle formule, nous avons observé d'abord qu'en posant
cos 95 = COS M COS m' COS a; + sin M sin m' cos y, les coefficients devenaient des produits de fonctions analogues en u et m', et nous avons trouvé ensuite dans l'extension de la théorie du potentiel au cas de quatre variables l'origine vraie de cette formule.
1 76 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS «p + » "^ - ^ .
Nous observons qu'un point essentiel de notre analyse consiste dans ce changement de variables
0^ = r cos M cos a; , 0^2 = r cos M sin a; , x^ = rsiDUcoBy, x^ = r sin m sin y.
Green, Jacobi et d'autres géomètres, qui se sont occupés de cette extension de la théorie du potentiel, ont introduit d'une autre manière des variables analogues aux coordonnées polaires, en posant
a^j = r cos di , 0^2= r sin ^icos 02, Xg = r sin 01 sin 02 cos flg , x^ = r sin ôj sin 62 sin 0^.
7. Il est clair que notre analyse est parfaitement analogue à celle de Laplace concernant la fonction
X„ (cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos 99).
Il serait facile de poursuivre cette analogie et d'arriver, par exemple, au développement
où
(19) ^'^=2^} smu^co3u,du, j j ^ {u^, x„ y,) -^^^^ dx^dy^, 0 00
cos 9? =: cos M cos Uy COS (x — a^) + sin m sin Mj cos (y — y{i ,
S (M, X, y) étant une fonction arbitraire continue , donnée pour les valeurs
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R- — 2 R r C08 q)-{-r^']-\ 1 77
et telle que "^
^(0, X, y) est indépendant de y,
^ (-, X, y\ est indépendant de x,
Mais, au lieu d'insister sur ce sujet, nous croyons être plus utile en appelant l'attention sur quelques autres formules.
