Soit

Y„ = coanq^, C09(p = x,

V„ est un polynôme du degré w en x, et

En posant

on trouve

X = cos^ M -\- sin''^ M cos y) ,

-r — = 2 sin M cos M (cos w — 1) --,— du ^ dx

èV„ . „ . dV„

= — sin^ M sin y)

dx

Ô^Vn

dWn

^ = 4 sin'" M cos2 u (cos w — ^f W + 2 cos 2 m (cos y — 1 ) -p^ .

c— 5- = Sin* M sin^ y> —-—5 sin^ u cos y -5

oxp^ ^ dx^ ^ dx

En substituant ces valeurs dans l'expression

d'-Vn

et en déterminant a et /9 par la condition que le coefficient de -^— 2" ^^^^ égal à 1 — x^, on obtient

1 ô^V^ 1 à^Vn

4 dv? ' sin^ m è v'^

= (1 — a^) - „" — — (cos 2 ?< + cos V — cos 2 m cos y) -5 — dx^ 2 ax

1 78 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R^ — 2 R r COS ip -)- r^] - 1.

et ensuite

4 6u^ ' sin^ M à v^ 4 sin M cos m à m dx- dx '

donc, d'après (20),

4 d M^ ' sin^ M drp^ ' 2 sin 2 M du '

Mais il est clair qu'on peut développer Vn suivant les cosinus des multiples de y) en posant

(22) . . . V„ = ^' 2R?co8rv, t = 0, 1 , 2, . . . , n.

On trouve, en portant ce développement dans l'équation (21)",

4 dM2"f2sin2« du'^\ ain^uj^ ou , en posant RJ* = (sin m)"' S", sin^ m = < ,

^2 g« fj gn

(23) . . i(l o~^ + (2z-t-l)(l-0^/ + (n2-t2)Sr = 0;

d'oïl l'on conclut

S," = C f (i — w , z + M , 21 + ], 0 et

R»=C(sinM)2'§r (i — w, î + «, 2i+l, sin^M).

La détermination de la constante numérique C s'effectue encore sans difficulté en comparant les coefficients de t" dans la formule (22). On obtient ainsi le résultat

ces tp =: cos2 M + sin- M cos V ,

Z 'Il itl I t —~ 1)

X S'(i — n , i + n, 2 i + 1 , sin^ m) cos i y.

SUR LE DÉVFXOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R" — 2 R r COS y -f ^^] ~ ^' 179

9. On doit à Hansen un résultat analogue qu'il sera bon de rappeler

X„ (cos^ M cos a; + sin'-^ u cos y) (25) ( = ^ V^ 4c"j, C082''Msin2*M

X Sf (î -\-k — n, i-\- k-{-n-\- ï , 2k-\-l, sins m) cos ixcosk y.

L'analyse de Hansen est très compliquée, mais M. Tisserand a fait voir (Comptes rendus, t. XCVII, p. 815) qu'on peut obtenir cette formule d'une manière analogue à celle qui vient de nous donner le résultat (24).

Mais , quoiqu'on parvienne ainsi d'une manière élégante à établir ces formules (24) , (25) , il nous semble pourtant que la véritable origine analytique de ces formules et des expressions

008^ w -f- sin^ « cos v» I cos^ M cos X -f- sin^ M cos y

reste à trouver. Est-il possible d'arriver à ces résultats par une théorie analogue à celle du potentiel ? C'est là une question que nous avons cru utile de poser au moins.

(Paris, C.-R. Acad. Sci. , io8, 1889, 605-607.)

Sur les dérivées de séc x.

(Note, présentée par M. Hermite.)