SUR LES DERIVEES DE SEC

est égale à

(«0 Xo + «1 X^ 4- a.y Xg + . . .f

+ (6,Xi+ b,X, + ...f

La considération des dérivées d'ordre impair donne lieu à une proposition semblable.

2. On rencontre des relations semblables en considérant les dérivées de tangx, et des fonctions elliptiques sin am x, cos am x, A am x.

Nous ferons connaître prochainement la démonstration de ces propriétés, qui sont liées intimement à certains développements en fraction continue dont voici un exemple :

Soit

cos am X

= Vr.

on aura

/ e- ' * cos am 2 d« = — 1 + 4 —

, 22ft2

^+^+.- (2n-lf

La série est divergente, mais la fraction continue est convergente et représente l'intégrale.

(Paris, C.-R. Acad. Sci. , io8, 1889, 1297 — 1298.)

Sur un développement en fraction continue.

(Note, présentée par M. Hermite.)

Considérons le développement bien connu en fraction continue de l'intégrale

où f(z) ne change pas de signe, et posons

I = ^; + Rn, P

fr- étant la n**"® réduite.

Alors R„ est le minimum de la forme quadratique

<p \Xi , ^2 » • • • > •^")

La vérification de ce théorème n'offre pas de difficulté. On peut déduire de là facilement

lira R„ = 0 , n = 00 ,

tant que l'intervalle (a, b) est fini.

Mais , dans le cas 6 ^ 00 , on n'a plus nécessairement lim R„ = 0. Ce-

SUR UN DEVELOPPEMENT EN 1-RACTlON CONTINUE. 183

pendant nous avons reconnu que cela a lieu encore dans un grand nombre de cas , notamment lorsque f{z) est de la forme

Il est clair aussi que , lorsqu'on a lim R„ = 0 pour une forme particulière de f{z), cela aura lieu encore en remplaçant f{z) par F (a), où

A étant un nombre fixe.

Enfin ces considérations s'appliquent encore si, au lieu de l'intégrale I , on considère une somme

composée d'un nombre fini ou infini de termes.

(Ann. Fac. Sci., Toulouse, 3, 1889, H. i— 17)

Sur la réduction en fraction continue d'une série procédant suivant les puissances descendantes d'une variable.