Soit

On <h , 0"> 1 / IX- ff«

une série procédant suivant les puissances descendantes de x. Il est clair qu'on pourra , en général , la transformer en fraction continue de la manière suivante :

En désignant alors par

Qi a; ' Q2 "~ a; + Cl '

P les réduites de cette fraction continue, le développement de 7^ suivant

les puissances descendantes de x donnera une série dont les n premiers termes coïncident avec ceux de S.

La fraction continue F peut se transformer encore en F'

Co

Pi'

les réduites de cette se-

et , en désignant par - = --^^ , ...,-, conde fraction continue, on a identiquement

2. Il est clair que les coefficients c^, Ci, . . . , Cn, ... sont des fonctions rationnelles de a^, a^, . . . , On, ... ; c„ du reste, ne dépend que de Oq, a^, . . . , On.

Posons

Ao = l,

fli

Bo = l,

; fln-l a,,

I an On + l

an

an+1 a2n — 1

on aura

A„iB,

1 Dn

An B« 1

An + 1 Bn — 1 An Bn

La démonstration de ces formules ne présente aucune difficulté, et nous ne nous y arrêterons pas , renvoyant le lecteur qui désire plus de détails sur ce sujet aux Mémoires suivants :

Frobenius und Stickelberger, Ueber die Addition und Multiplication der elliptischen Functionen. (Journal de Borchardt, t. 88.)

Frobenius, Ueber Relationen zwischen den NâherungsbrUchen von Potenzreihen. (Journal de Borchardt , t. 90.)

3. Mais le problème de la transformation de la série en fraction continue est susceptible d'une autre solution que nous allons développer.

Envisageons d'abord le problème inverse , c'est-à-dire cherchons à exprimer réciproquement les a„ au moyen des c„. Nous proposons, pour ce problème , la solution suivante :

Calculons d'abord une série de quantités at^k, fii,k d'après les formules suivantes

(7) ai,*^0 lorsque i>k,

\fii,c = 0 lorsque î>A; fio.k = ao,/fc -j-Ca»],* , Pi,k = oi,k -^c^a2,k, ^,k = a2,k -\- (^a3,k,

iO0,k + l = Cl /îo,ft>

«i.fc+i = Cafii.k -f fio,k,

f'J>r\ ;a2,ft-)-l ^ C5^2,A + A, fc,

]Oi,k + l ^ Coi + lfii,k + Pi-\,k,

Si l'on dispose ces quantités dans le Tableau suivant:

on voit que chaque colonne verticale se déduit de celle qui la précède, et, en effectuant le calcul , on a

j 1 i 1 I Cl I Cl + Ca J cf + Cl Cs I cf -f (^ + 2 Cl Cj + Ca Cg j . . .

Cl + Cs -f Cs

Cl + C2 + <% + C4

Ceci posé, les quantités a„, ... s'expriment au moyen des aj,», fii^k, ainsi qu'il est indiqué par le théorème suivant :