X JO

A= ^ y^ Ai,fcX.Xfc,

B ^ ^^ tJ Bt,A Xt X*.

Nous remarquons d'abord que En effet, la valeur de A,4.i,4 est

c'est-à-dire, d'après les relations (7"),

(8) c„ oo, A Cl /îo, i + Cq Cl Ca a,^ ^ [/Îq, ,• + c, /îi, ,] + Cq Cj c, c^ c^ Og^ * [^i, < + «5 h J + • • • • tandis que la valeur de Bi,^ est

Cq <à ^0,» ^0,A; + ^0 <^1 '^''a ^1,1 A,fe "T ^0 ^1 '^S ^^8 ^4 ^ô ^2,1 /'2,* "!"•■■>

c'est-à dire , d'après les relations (7') ,

(9) CoCi^o,<K,* + C2ai,*]

+ Cq Cl C.2 Cs ^1, i [ai 4. 4- C4 a.^ ft] + Co Cl c, c.^ c^ c^ /?,, .■ [«2, * + ^e «3, *] + • ■ •

L'identité des expressions (8) et (9) est évidente. Il est clair qu'on aura de la même façon

Aj,fc+i = Bt,k, donc

A,+i,ft = Ai,*+i;

d'où l'on conclut que généralement

A»,fc ^ Ar,s

sous la condition i -\- k^r -\-s.

On voit par là qu'il existe une série de quantités

telles que l'on a identiquement

Il 0

B = ^^ 7 . a«4-fc-t-iX,Xfc.

De plus, si l'on remarque que, d'après notre algorithme, on a

a/,i = /î<,t = 1 , on conclut directement les valeurs des déterminants

On - 1 On •

Oj a^

«2 «3 On On + 1

On-\

ûten-l

— Co X C()C]^C2 X. CqCiC2C<^C^ X • • • X CqCjC2. . .C2n — 2»

— Cq Cj X Cq Cj Cq ^8 X • • ■ X Cq Cj Cg ■ . . Co n 1 >

et les formules que nous avons rappelées dans le n" 2 montrent alors que , en réduisant en fraction continue la série

ûfo ai |a2 on obtient la fraction continue

Le théorème énoncé est ainsi démontré.

5. On voit , par ce qui précède , que l'on pourra écrire immédiatement la fraction continue F, dès que l'on aura obtenu les décompositions en carrés des formes quadratiques

0 0 0 fr"^

Nous ajoutons que , en connaissant seulement la décomposition en carrés de