fl,+fcXiXft
on pourra écrire immédiatement la fraction continue F'. En effet, dans cette fraction continue figurent seulement les quantités
et
Cj , C2~r ^n' ''4 "r ''5 > • • • ■
Les premières sont connues immédiatement. Quant aux autres, il sufifit d'observer que
an,n + l = Cj -f" ^2 + • • • + C2n + 1 ,
pour en conclure
Cl =00,1, 02 4*^3 = 01,2 — «0,1, C4-|-C5 = a2,3 — «"1,2 ,
Sous une forme légèrement modifiée, nous pouvons dire: IL Si l'on a identiquement
^ ^ «•■+* X< X* = «0 [Xo + ai X^ + a, Xo + . . .J-
i a en même temps
«ireo
"^^^^ "' cc + y,-P,-..
6. Nous allons donner maintenant quelques applications de ces théorèmes. Considérons pour cela le développement
On trouve facilement 00 = 1, Oi = /c, a, = 2 A -f 3 A;2, 0,,= 16 * + SOA^-f 15 Ar*, ....
Généralement a„ est un polynôme du degré n en A; mais la loi de ces polynômes est très compliquée. Nous allons voir que la réduction en
fraction continue de
conduit à des expressions très simples pour les Cn.
Soit
f{x) = (aécx)'';
en calculant les dérivées successives f, f", . . . , on obtient
f'=k (séc a;)* tang x ,
f" = (séc xf [A + (A + k') tang2 x] ,
Posons , pour abréger ,
tang'^ x = z;
on voit facilement que l'on aura généralement
^{2 m + 1) __ (géc a;)* tang a; vm ,
9'm et yjm étant des polynômes du degré »i en 2. En prenant les dérivées , on trouve les relations
Vm = 2{l-\-z)<p'm-\-k<pm,
Nous désignons ici par (p'm , y>'m les dérivées de q>m et de Vm par rapport à z. Ces relations permettent de calculer de proche en proche les polynômes g? et v^, et si nous posons maintenant
<p„ = a,„,,-{-k{k-\-1)am,iZ + k(k + l){k + 2){ki-3)a,n.2Z^+...,
v;„, = ft/S„,o-f/c(A + l)(/c + 2);8„.iS + A(A+l)(A+2)(/c+3)(A+4)|8„,,222+...,
il en résulte les relations suivantes
/îm.O = am,o + 2 (ft + 1) am,l,
fim. 1 = «m, 1 + 4 (/c -f 3) a„, 2 , fim. 2 = «m, 2 + 6 (A -f- 5) Om, 8 ,
fim.i = a„, < + (2 z + 2) (A + 2 i -f 1) a„,,, + i ;
«m + l-O = fC^m,0,
am+1,1 = /îm,o + 3(A;4- 2)/îm,l,
«m + 1,2 ^ j^m, 1 + 5 (A; + 4) /îm, 2 ,
En comparant ces relations avec l'algorithme que nous avons exposé dans le n° 3, on reconnaît que les quantités Oi^k, Pi,k sont exactement celles qu'on aurait obtenues là en partant des valeurs
Ci = l./s, C2 = 2(A;+1), C3 = 3(ft + 2), ..., c„ = «(A + n — 1),
et l'on en conclut, sans la moindre difficulté,
. I 2(fe+l) "^ , 3.A + 2)
En remarquant que
et que , par conséquent , l'intégrale
donne ce développement (divergent)
X a? of X
0 'ri 1 ^2 "^ \
on obtient enfin ce résultat
Nous nous bornerons ici à considérer la transformation de la série en fraction continue au point de vue purement formel. Dans une autre
occasion , nous ferons voir que la fraction continue que nous venons d'obtenir est convergente et représente effectivement l'intégrale si l'on suppose a; > 0, A; > 0.
Notons, en passant, le cas particulier k = — n, n étant un nombre entier positif. La formule (10) se réduit alors à cette identité algébrique
ic + n-
7. Nous allons donner maintenant une application du théorème II. Considérons pour cela la fonction
/■=sinaraa;, le module étant k comme d'ordinaire. En calculant les dérivées successives, on voit qu'on a
f =:sin ama;[ao],
f" = sin ara x [a^ + ^i ^f] ,
/ w = sin am a; [a2 + ^2 ■^ "I" ^2 *'^] »
/ (6' =: sin am a; [ag + ^8 2 + ^3 2^ 4" ^3 *^] i
où nous avons posé , pour abréger , z^k sin''' am x. Il est clair ensuite que
8inarax = 2,i 2.3. .(2n+l)'
et, d'après la série de Taylor, on a
|[sin am (x-\-y)-{- sin am {x — y)] = f-\-f" ^^4-/"'*' ^ 2.3.4 '^
c'est-à-dire, d'après les formules (11), (12) . . .
^ [sin am (x-{-y)-\- sin am (x — «/)] = sm ara x
«o + «iï^+«2i.2.3.4 + --
rr2
+ z sin am x
+ z^ sin ara x
D'autre part , on a , d'après les formules d'addition ,
l [sin am (x-{-y)-\- sin am (x — ?/)] sin aœ x cos am y A am 2/
1 — k^ sin^ am x sin'"^ am y = sin am a; cos am î/ A am 2/ { 1 4- kzsm^ a.my-\-f^3^ sin* am «/ + .
La composition avec (12) fait voir que
cos am ^ A am 2/ = «0 + Oi j^ + «2 ^ g^ 3 . 4 + • • • ' /c sin2 am y cos am j/ A am ?/ = b^ ~~ + 62 ^ g 3 ^ + • • • ,
A;2 sin* am y cos am «/ A am y =
d'où l'on conclut, par intégration,
sin am ^ = Oq 2/ + ai
g sm^ amy =
