La considération des dérivées successives de

cos am a: , A am a;

conduit à des résultats analogues , mais qui offrent encore une application du théorème I.

Soit /■(a;) = cosama5: en introduisant encore la quantité 2: = A; sin^ am a; , les dérivées d'ordre pair se présentent sous la forme suivante

f =cos ama;[ao],

f" = cos am X [aj -\-biz],

fw = cos am a; [ag + 62 ■^ + ^2 s^] ,

/■(6)=co8 ama;[a3 -\- b^ z -\- c^ z^ -\-d^^^l>

et il est clair que

cos am X

a„ûi?"

Le théorème de Taylor donne ensuite

I — f A-f" -EL

\ [cos am (x-\-y)-\- cos am (a; - j/)] = / + f" ^^ + A**) ^-^ g ~ + . . . ,

ou bien, en introduisant les valeurs (15), (16) . . . ^ [cos am (a; + ^) + cos am (a; — 2/)]

^ cos am X

4" ^cosama;

+ z^ cos am x

D'autre part , les formules d'addition donnent

\ [cos am (x-\-y)-\- cos am {x — y)\

cos am X cos am y

1 — K^ 8in2 am x sin^ am y

= cos am a; cos am ly [] -^ k z sin^ a,my -\- k" «^ gin* am ?/ -f- ■ ■ •]•

La comparaison avec (16) montre que

C08 am 2/ = «0 + «1 j^^^ + «2 Ï72T3 . 4

]k sin'^ am y cos am i/ = ôj p-^ + *2 j 2"3 4 "^ '

(A'^sin* am y cos am y =

On voit par là que le second membre de la formule (16) peut s'écrire

«o + «ii;2+''2i 273 4'^