OC

et le premier membre est égal à

La comparaison de ces deux expressions conduit à la relation

aiJf.k^=aiak-\-hibk-\-CiCk-\- ... , ou , ce qui revient au même ,

(18) . . . ^^ «i+fcX.Xfc = [aoXo + «iXi + floX., + ...}^ « 0 +[6iXi + 62X.3 + ...J

9. La considération des dérivées d'ordre impair de f= cos am x va nous donner une formule analogue. On trouve que ces dérivées se présentent sous la forme suivante

f = sin am a; A am a; [aj ,

/, QN ; f" = sin am a; A am a; [a, -f- 6, s] ,

/■(6)^ sin am a; A am a; [«g -^b.^z -\- Cg a^],

II est à remarquer que Oj, a^, a-A, ■ • ■ ont ici les mêmes valeurs que

dans les formules (15), mais il n'en est pas de même des 6,, a,

Cette remarque est à peu près évidente, car si l'on prend encore ao=lî on tire des formules (19) le développement

cos am X ■

Za„x^'' r727. .{2n)'

La formule de Taylor donne

\ [cos am (X + 2/) - cos am (x - y)] =/' -^ + f" y^^.Z +^'" 1.2 .3 .4. 5+-' et, si l'on introduit les valeurs (19), (20) . \ [cos am (a; + 2/) — cos am {x — y)]

= sin am a; A am a;

4" 2 sin am a; A am a;

-|- 2- sin am a; A ara a;

yf,

or on a

^ [cos am {x-\-y) — cos ara {x — y)]

sin ara rc A ara a; sin ara 2/ A ara y

1 — B sin'^ am x sin^ am y

= — sin am x û^di.mxhmsLmy i:^amy{).-\-kzsm"-dmy-\-K^z'^sva*^a,my-\-...'] donc, par comparaison avec (20),

,— sin ara y A am 2/ = ai 1^ + gg ^ ^ g 4- ttg ^ ^ ^ ^ g 4- . . . ,

) — k sin^ am 2/ A am 2/ = I — A:2sin^am2/ A ara y =

Le second membre de la formule (20) s'écrit donc

af-

cz

«Il +0-2-1 OQ+«i