J'" ri
+ •• tandis que le premier membre est
On en conclut
— ai^k + l = Ot + lttAi + i + &i + i6A: + l + Ci + lCfe + l + . • .
OU encore
(22) . -2^^a.+*4.iX<XA = KXo + a.2Xi + a3X2 + ...]2 û ^ +[62X1 + 63X2 + ...?
Les décompositions en carrés données par les formules (18) et (22) permettent maintenant d'écrire immédiatement la fraction continue F, qui résulte de la série
*0 "■! [ fl'2
X x^ ' af
En changeant légèrement les notations , nous écrivons le résultat final ainsi : soit
cos am a; = /îo — ^1 j— g + h 1727374 "~
alors la série (divergente)
X a? '' afi
qui provient de l'intégrale
/oo e-^'cos&mz de,
donne la fraction continue (convergente)
Et une analyse toute semblable conduit encore à ce résultat que, si l'on écrit
A am a; = vo — p'i ^-^ + y^
la série (divergente)
qui provient de l'intégrale
e-»^«û axQ.zdz,
donne la fraction continue (convergente) (24) ^
La démonstration que ces fractions continues convergentes représentent effectivement les intégrales dépend de considérations toutes différentes que nous nous réservons de développer dans un autre Mémoire.
(Bul. Sci. math., Paris, sér. 2, 13, 1889, 170— 172.)
Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite.
Permettez-moi de vous présenter une remarque que m'a suggérée votre résultat
/ & \ arc cos ^7==^
,-00 ,-00 \y n ri
J J " iVac — b^
Elle consiste en ce que l'angle
ç) = arccos Y7= , 00895 = ^7=»
\Vacj Vac
qui y figure et qui est compris entre 0 et ?i, est précisément l'angle qu'on rencontre en représentant géométriquement la forme positive ax^ -{-'Ibxy -\- cy^.
Cette remarque m'a conduit à une autre démonstration de votre résultat. Soient (Fig. 1) OU, OV deux axes coordonnées comprenant l'angle <p,
Fig. 1.
- - - gK
OA
= xVâ
OB
= yVc
202 EXTRAIT d'une LETTRE ADRESSÉE A M. HERMITE.
les coordonnées d'un point P ; on aura
OP^ = asfi-{- 2b xy + cy^ et , par suite ,
En multipliant par sing?, sincpdudv est l'élément de l'aire plane égale à do; donc
jVacainq>= fe-^^da,
l'intégration s'étendant sur l'aire infinie correspondant aux valeurs positives de u et de v.
En introduisant des coordonnées polaires , on aura
da = r dr dO,
