P /-OO
2VacBm(p
Cette méthode s'applique avec la même facilité au cas de trois variables
/ÛO ,'00 /»00 / / e-'i'dxdydz,
xp ■=ax^ + ^y^ + C2^ + 2a]^yz-\- 2b^ zx -\- 2Ci xy.
Déterminons d'abord trois angles a, fi, y compris entre 0 et n, par les relations
COBa^-r-à=z> C0a8=:-—è=, C0Sy=7-;^-
Vbc Vca Vab
Il est alors possible de construire un trièdre 0 U V W (Fig. 2) tel , que
VOW = a, WOU = /S, UOV=y,
EXTRAIT d'une LETTRE ADRESSÉE A M. HERMITE. Fig. 2.
et SI
u = xVa, v^=yVh, w=:^zVc
sont les coordonnées d'un point P, on a
donc
/OO /'OO /•OO / / e-'i'dudvd
Mais l'élément de volume de l'espace est
da = k du dv dw, k étant un facteur constant de valeur connue, donc
JkVabc=f f fe-^da.
Introduisons d'autres variables et déterminons la position du point P par 0 P = r et par la position du point P^ sur la sphère de rayon 1 dont 0 est le centre (Fig. 3).
EXTRAIT d'une LETTRE ADRESSÉE A M. HERMITE.
Il n'est pas nécessaire de spécifier la nature des coordonnées à introduire pour déterminer la position de Pj ; toujours on aura
da--r'^dQXdr,
Q étant l'élément de l'aire de la surface de la sphère ; donc
5kVabc=(dQft-'''r^-dr = ^ XlVn,
S= dg étant l'aire du triangle sphérique ABC dont les côtés sont a, /î, y. En écrivant au lieu de A; sa valeur, il vient
a Cj 61 Cl b Oi
61 tti c
(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 8, 1889, 472 — 478.)
Sur un passage de la théorie analytique de la chaleur.
La méthode suivie par Fourier pour obtenir le développement
(A) . . . 1 = a cos x-{- b cos Hx -\- c cos 5 re -f d ces 7 x -\- . . .
est très belle, mais elle manque absolument de rigueur, et l'on peut même s'étonner, au premier abord, qu'un tel procédé puisse conduire à un résultat exact,
Fourier pose x = 0 dans l'équation (A) et dans celles qu'on en déduit par des différentiations successives. Il obtient ainsi les relations
n de ces équations lui fournissent les n premiers coefficients en annulant tous ceux qui suivent, et, en prenant ensuite w = oo, on constate que les valeurs obtenues pour a, h, c, d, ... tendent vers des limites déterminées.
C'est ainsi qu'il obtient le résultat cherché
= COS a; — -, cos 3 .r + - cos 5a; ^^- cos 7 a; + . . . .
Nous nous proposons dé'tudier de plus près cette méthode.
1. Il est clair que la détermination des a, b, c, d, . . . d'après Fourier revient à ceci :
Déterminer les coefficients a^, a^, ■ . . , a» de manière que le développement de
(pn (x) = «1 cos rc + «2 cos 3 a; + • ■ • + ffn cos (2 n — \)x
soit de cette forme
cpn{x)=l+kn:t^" + kn + lX^'^ + ^ + ....
Pour obtenir <pn (x) et en même temps une expression simple de 1 — (pn (x), nous remarquons que l'identité
(2 i sin a;)2»-i = (c''^ — e-»x)2n-i donne facilement , en développant le second membre ,
((8ina;)2»-i = A„ (1).
3.5.7...(2n — 1) "~ 4.6.8...(2n) On en conclut
/ (8ina;)2«-ida; =
"o Or il est clair que le développement de
/ (sinxf"^^ dx
commence par un terme en x^": donc on a nécessairement (3) .
Vn(x) = ^
1 n— 1 „ , cos a; — - — i— ï cos 3 a; + à n-\-l '
(4) . . . 1 -ç;„(a;) = /^ (sina;)2»-ida;:f (8ina;)2"-idx
Fourier n'a pas donné explicitement l'expression de cpn (a;) , mais on peut la déduire facilement de ses formules et constater l'identité avec la formule (3). On a notamment
kn 3^ 5^ 7^ . ■ (2 w — 1)^
et il est facile de conclure , d'après la formule de Wallis ,
2. Supposons que x soit compris entre ± ^ (sans atteindre une de ces limites), la formule (4) permettra facilement de conclure
lim [1 — g9„ (a;)] = 0 , n ^ x .
En effet, soit
il est clair que
et
donc
C„=/ (8ina;)2»-ida;,
C„+i< C„sin2a;
1 — y«+i(a;) a+i . Ç^ . /, , M cins x
X étant un nombre fixe compris entre sin2a; et 1, le rapport
[1 — 93„ + 1 (rc)] : [l — 95„ (a;)]
sera donc constamment inférieur à A à partir d'une valeur suffisamment grande de n, d'où l'on conclut
(6) lim[l — 9'n(a;)] = 0, n = oo.
On verra de la même façon que
(7) lim-^r(8ina;)2»-ida; = 0.
Or on a
-T— / (sin x)""-'^ dx = - — cosa; — — — r^ cos3a; + . . . AnJ An V 3 n+ 1 ' /
et
,. Bn ?l
Donc , pour achever la démonstration de la formule — ^ cos a; — ^ cos 3a; + -- cos 5a; — ...
il suffira de faire voir qu'en posant
S=cosx — ^ cos3a; + — cosôa; — ...,
oi 1 n— 1 ^ , 1 (w— l)(n — 2)
S' = cos X — -^ — j-- cos 3a; + "i" ) — 1~^) -nr cos 5a; — . . . ,
on a
lim(S — S') = 0, w = oo.
